Однозначной рекомендации нет, предлоги конкурируют: на архипелаге Фиджи, но в государстве Фиджи. Для снятия неоднозначности можно написать так: выборы в Республике Фиджи.
Точного незаимствованного синонима нет. Частичные синонимы: прибор, устройство.
Возможны оба варианта.
В значении 'остров' Гаити – существительное мужского рода; в значении 'государство' Гаити может употребляться как существительное среднего рода и как существительное женского рода.
Слово гаджет вошло в русский язык и уже зафиксировано академическим орфографическим словарем.
Слово «Анжи» употребляется как существительное мужского рода (по родовому слову: футбольный клуб): «Анжи» забил.