Не растирая — одиночное деепричастие. В приведенном предложении оно требует обособления, так как обозначает второе действие (=промокните, но не растирайте) и, кроме того, оторвано от глагола. Об этих факторах обособления см. «Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.), параграф 72.

При обозначении приблизительного количества сказуемое может стоять как в форме единственного, так и в форме множественного числа (второй способ согласования все чаще встречается в наше время). Но, поскольку в Вашем примере сказуемое обозначает бытие, наличие, а не действие, следует выбрать единственное число: На столе лежало с десяток апельсинов.

Конструкции «предложения по типу» в русском литературном языке нет. Есть конструкция «предложения типа».

В предложениях, сообщающих, как зовут человека или как называется город (село, завод и т. д.), имя собственное является обстоятельством образа действия, примыкающим к сказуемому в именительном падеже (это так называемое номинативное примыкание).

Предложение построено некорректно, поскольку действия, описываемые в предложениях, соединенных союзом и, не могут быть видимы одновременно. Предлагаем варианты: Заброшенное здание постепенно ветшает, и мы ясно видим, как с его потолка льется дождь; Постепенно мы оказываемся в заброшенной части здания и ясно видим, как с его потолка льется дождь. 

Слово несмолкающий является причастием, обозначающим признак предмета по действию. Обычно сочетается с существительными, называющими различного рода звуки (шепот, гром, сигнал тревоги и т. д.). Причастие может быть употреблено с зависимыми словами: постепенно смолкающий гул, не смолкающий на дороге гул. Образовано от глагола смолкать. От этого же глагола образовано прилагательное несмолкаемый.

Ваш случай неоднозначный. Структурный принцип пунктуации требует запятую поставить. Однако можно заметить, что логическое ударение падает не на слово момент, а на причастный оборот и слово момент само по себе не выражает полного смысла. В подобных случаях возможно ограничение действия структурного принципа. Даже у филологов на этот счет взгляды расходятся. 

Если деепричастный оборот открыв рот используется не в буквальном, а в переносном смысле ('изумленно, удивленно'), он имеет значение обстоятельства образа действия и не обособляется. Об условиях необособления деепричастных конструкций, см., например, параграф 71 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

Об объединяющей восклицательной или вопросительной интонации мы вспоминаем, когда речь идет об отсутствии запятой перед союзом в сложносочиненном предложении. Здесь другое правило – об отсутствии запятой перед неповторяющимся союзом, соединяющим однородные члены предложения. Запятая перед союзом и не нужна, союз соединяет однородные сказуемые в главном предложении. Исполнитель действия один и тот же.