Вопрос довольно сложный. Рассмотрим вначале его лингвистическую составляющую. Орфографически правильно написание Сибгазкомплект, а написание СибГазКомплект неверно, поскольку по правилам русской орфографии слитные написания с большой буквой в середине слова недопустимы. Но, к большому сожалению, эта орфографическая норма в последнее время все чаще игнорируется. Наименования, содержащие одну или несколько прописных букву в середине слова, составляют сегодня продуктивный тип единиц, относящихся к номинации (ср.: система «КонсультантПлюс», компания «РосУкрЭнерго», компания «МегаФон», сеть «АллоКард»).

С юридической же точки зрения между названиями Сибгазкомплект и СибГазКомплект разница есть. Название фирмы в документах должно писаться так, как оно было зарегистрировано; это касается и прописных / строчных букв. Следовательно, во избежание неприятностей можно рекомендовать придерживаться написания СибГазКомплект, раз оно было зарегистрировано именно так.

Сочетание библиотека им. А. С. Пушкина – это описательный оборот, в первом слове которого прописная буква не нужна. Однако правила орфографии допускают функционирование усеченных названий, и эта тенденция становится все более и более заметной. На наш взгляд, использование описательного оборота в качестве усеченного названия, то есть написание его с прописной буквы, допустима в официальных документах. Такую замену можно предварить комментарием: Центральная городская публичная библиотека им. А. С. Пушкина (далее – Библиотека им. А. С. Пушкина).  

Такое произношение неправильно. Несмотря на то что буква Ф называется [эф], в некоторых буквенных аббревиатурах, начинающихся с Ф, закрепилось произношение этой буквы как [фэ] (т. е. так, как Ф произносится в разговорной речи). Отчасти это объясняется артикуляционными законами, отчасти (как полагает известный лингвист  К. С. Горбачевич) – нашей «языковой ленью». К такого рода аббревиатурам относится и ФБР: единственно верный вариант произношения, зафиксированный в словарях (в том числе в словарях, адресованных работникам эфира), – [фэ-бэ-эр].

1. Школьникам можно говорить о том, что слово синие заканчивается на звук и или на и с призвуком э (и склонное к э, близкое к э).

2. После разделительного мягкого знака буква и в ударной позиции обозначает два звука [jи] (в безударной – и неслоговой и и с призвуком э), хотя обычно в школе об этом не сообщается, т. к. после гласных перед и звук [j] чаще всего не произносится и букву и не называют йотированной.

Да, в образных названиях государств с прописной буквы пишется первое слово и собственные имена. Но это бесспорно для таких названий, где есть устойчивая традиция употребления. Не для всех названий такое устойчивое написание закрепилось. Поэтому чем менее распространено название, тем больше вероятность, что оно не захочет подчиняться данному правилу. Например, в контексте Хочу провести отпуск в стране пиццы и спагетти строчная буква более чем уместна. Окончательное решение в спорных случаях следует оставить за автором текста.

В приведенных примерах с прописной буквы начинаются не слова автора в традиционном их понимании.

Словами автора принято называть синтаксические конструкции, которые вводят прямую речь: они содержат глагол со значением речи-мысли (говорить, сказать, воскликнуть и т. п.) или обозначают внутренние чувства говорящего, его ощущения, внутреннее состояние (вспомнить, обрадоваться, огорчиться и т. п.).

Такое пунктуационное оформление (тире, прописная буква и отсутствие абзаца) принято для текста автора, относящегося к говорящему лицу, но при этом не служащего для введения прямой речи.

Названия должностей, званий, титулов пишутся строчными. Поэтому в нейтральном употреблении для прописной буквы нет оснований.

Но вполне можно предположить, что контекст не нейтральный, тогда такой категоричный ответ не подходит. В обращении профессор вместо обращения по имени и отчеству видится намек на какую-то языковую игру или на дружеские взаимоотношения, а в рамках такой игры или в разных стилистических целях прописная буква может быть уместна (например, в шутку подчеркнуть особый высокий смысл, вкладываемый в слово профессор, и т. д.).

Буква ъ может писаться при передаче иноязычных собственных имен после букв, обозначающих парные твердые согласные, перед я, е, ё, ю и даже и. См. § 27 в «Правилах русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

Верно: 3-я. Но лучше всего это числительное не сокращать, а писать полностью: третья.

В данном случае написание Вы с прописной буквы уместно.