К грамматике это не имеет совершенно никакого отношения. Данный вопрос касается истории, этимологии, происхождения слов. Большинство слов русского языка, которые начинаются на букву А, действительно, пришли к нам из других языков. Тем не менее есть и исконно русские слова, начинающиеся на А, они являются преимущественно частицами или междометиями: абы, авось, ась, агу и т. п. Подробно и интересно об этом написано в книге Л. Успенского «Слово о словах».

Правильно: говорить на каком-либо языке, например: говорить на русском языке, говорить на родном языке; с наречием: говорить по-русски.

Вариант с творительным падежом возможен только в устойчивом обороте русским языком говорить 'говорить ясно, понятно', например: Вам говорят русским языком, имение ваше продается, а вы точно не понимаете (А. Чехов, Вишневый сад).

Операционный -- относящийся к операции как 1) отдельному действию в ряду подобных, 2) лечебной помощи. Если речь идет о первом значении, то сочетание стандартная операционная процедура представляется избыточным (так как процедура -- это официальный порядок действий). Корректнее сказать: стандартная процедура, стандартная операция. Если речь идет о втором значении (операция -- лечебная помощь), то значение этого сочетания -- 'порядок действий, связанный с проведением лечебной помощи с механическим воздействием на ткани'.

В названиях организаций с большой буквы пишется первое слово: Городской ипотечный банк, Московский банк развития и реконструкции, Российская гильдия риэлторов (в последнем случае лучше оставить официально зарегистированное название, а в скобках поместить примечание редактора, объясняющее написание).

Нет, неправильно.

Действительно, за последние годы литературная норма несколько смягчилась. Хотя и во времена СССР у многих слов были равноправные варианты постановки ударения, общая тенденция замечена Вами верно. В последние десятилетия произошла своего рода «демократизация» нормы: многое из того, что раньше запрещалось словарями, теперь стало допустимым, а иногда и предпочтительным. Причин тому несколько.
Во-первых, орфоэпические словари прежде были ориентированы не только на широкий круг носителей языка, но и (и даже в первую очередь) на дикторов радио и телевидения, в речи которых не должно было быть никакого разнобоя. Поэтому варианты в большинстве случаев не указывались; двоякое ударение в словах приводилось только тогда, когда при всем желании невозможно было отдать предпочтение одному из вариантов. Сейчас же многие словари стремятся отразить динамику литературной нормы, поэтому иногда в них приводятся как допустимые и такие варианты, которые еще не являются эстетически приемлемыми для всех носителей языка (например, дОговор, нет носок), но, несомненно, станут таковыми в будущем.
Во-вторых, изменилось отношение лексикографов к вариантности нормы. Вот, например, цитата из предисловия к орфоэпическому словарю русского языка 1959 года издания: «Наличие колебаний (вариантов) часто нарушает правильность речи и тем самым понижает доходчивость ее. Это особенно нетерпимо для различных форм устной публичной речи». Сейчас такая нетерпимость прошла; по мнению многих лингвистов, лексикографическая деятельность не должна сводиться «ни к искусственному консервированию пережитков языка, ни к бескомпромиссному запрещению языковых новообразований» (К. С. Горбачевич).
Наконец, перемены в языке наступили вслед за переменами в общественно-политической жизни. Сейчас пришло понимание того, что следование норме включает в себя и умение выбирать соответственно ситуации речевого общения. Другими словами, наряду с однозначными правилами норма предполагает и возможность выбора. Это различие очень удачно сформулировал Б. С. Шварцкопф (в статье о кавычках) как различие между правилом и правом. Право на выбор (в том числе и выбор варианта языковой единицы) и признание права другого носителя языка на иной выбор – это важнейшая составляющая речевого общения.

Русские кавычки имеют два рисунка: кавычки-лапки (открывающие - две запятые, закрывающие - две перевернутые запятые в верху строки) и кавычки-елочки (<<такие>>).

Правильно: на Украине. Такова литературная норма, которая обусловлена традицией. См. Розенталь Д. Э. «Справочник по русскому языку. Управление в русском языке» (М., 2003).

Конечно, правильно: сиденье. Ответ исправлен. Спасибо!

Обособление оборота не требуется. "Недомашняя кухня" - орфографически верно, но, возможно, лучше подобрать более подходящий синоним.