Аббревиатура ОРИ не зафиксирована ни словарем сокращений, ни орфографическим словарем. Закономерным и наиболее удобным для произношения представляется вариант [ори́]. Аббревиатуры, состоящие из сочетания гласная буква + согласная + гласная, обычно являются звуковыми, например: АГО [аго́] (автогражданская ответственность), АСУ [асу́] (автоматизированная система управления), ИТУ [иту́] (исправительно-трудовое учреждение), ОЗУ [озу́] (оперативное запоминающее устройство).

Вряд ли аббревиатуры из той же тематической группы ОРВИ и ОРЗ, которые произносятся как [оэрви́] и [оэрзэ́], могут повлиять на ОРИ и мотивировать произношение с начальным сочетанием [оэр]. После твердого согласного звук [и] не произносится, он меняется на [ы]. Но с конечным [ы] аббревиатура станет трудноузнаваемой. 

В словарях географических названий, энциклопедиях пишут Хамельн, см., например: «Словарь географических названий зарубежных стран» (М., 1986), электронное издание «Большой российской энциклопеди». Но крысолов все же гамельнский, из Гамельна. Эти названия вошли в русский общекультурный фонд и менять их, разрывать культурную традицию не стоит. А. А. Зализняк, придерживавшийся в выборе между традиционным и новым вариантами произношения (часто отражающимися в написании) «некоторого умеренного общего уклона в сторону традиционных решений», в приложении к «Грамматическому словарю русского языка» (М., 2003 и след.) дает название города в форме Гамельн. Но выбор между г и х в этом названии — не единственная орфографическая проблема. В произведениях русских поэтов, обращавшихся к легенде о крысолове, часто встречаются написания с двумя м. Так, поэма Марины Цветаевой «Крысолов» начинается стоками: 

Стар и давен город Гаммельн,
Словом скромен, делом строг,
Верен в малом, верен в главном:
Гаммельн — славный городок! 

Но удвоение м все же не оправдано ничем (нем. Hameln), поэтому его обычно сохраняют только в изданиях поэтических произведений как элемент авторской орфографии.

Действительно, на постановку знаков препинания при оборотах с производными (непервообразными) предлогами влияют разные факторы. В приложении 1 «Справочника по пунктуации» говорится, что такие обороты обычно обособляются, если «находятся не в начале и не в конце предложения». Из этого не следует, что в начальной или конечной позиции в предложении они никогда не могут быть выделены.

Позиция начала предложения является особенной для оборотов с производными предлогами. Судя по всему, здесь их необходимо выделить только в том случае, если требуется обозначить границы оборота, чтобы предложение не выглядело двусмысленным:

Во избежание неверного понимания фразы директором, были внесены изменения в документ. – Во избежание неверного понимания фразы, директором были внесены изменения в документ.

В других случаях обособление оборотов с производными предлогами в начале предложения не требуется. 

Существительное занятие, обозначающее форму спортивной или какой-либо активной практической деятельности, сохраняет то же управление, что и глагол заниматься: заниматься йогой, аэробикой и пилатесом, занятия йогой, аэробикой и пилатесом. Предлог по обычно используют в сочетаниях с наименованиями учебных предметов, подразумевающих и их теоретическое освоение; ср. занятие по физике, по русскому языку. 

В этом случае запятая также не нужна, так как модель предложения та же самая, только позиция инфинитива в ней заполнена двумя глагольными формами.

Слова согласовать, согласованный и согласованность указывают на процедуру соотнесения чего-либо с чем-либо; например, действий одного лица с действиями другого лица, решения одной организации с решениями других организаций, политики одной страны с политикой другой страны и т. д. Иными словами, непременно сравниваются те или иные действия как минимум двух участников, двух сторон. Даже если употребить лаконичное выражение согласованность властей, то оно все равно будет подразумевать согласованность действий этих властей. В то же время выражение повысить согласованность разных органов госвласти нельзя признать корректным. В нем потеряно важное с точки зрения смысла слово. Более того, предлагается туманную, неясную согласованность повысить, то есть переместить ее куда-то повыше. Если это маловнятное выражение отвечает авторскому замыслу, то нет резона его и обсуждать. Но если выражение должно передавать совершенно определенную информацию, то его нужно отредактировать.

На Ваш вопрос можно ответить, воспользовавшись «Большим толковым словарем русского языка» под ред. С. А. Кузнецова. В словарной статье сколько находим значение, в котором слово употреблено в Вашем предложении, — I.2, там же указана часть речи, соответствующая данному значению, — I. местоим. нареч. (местоименное наречие). 

Профи́т — старое заимствование из французского языка, многие толковые словари характеризуют его как устаревшее, иллюстрируя цитатой из комедии А. Н. Островского «Трудовой хлеб»: [Чепурин:] Я только удивляюсь на вас: как это вы, при всей вашей учености, — всякие вы языки знаете, — и никакого себе профиту не имеете. Нормативные словари — и толковые, и орфоэпические, и орфографические — ставят ударение на последний слог (в этом легко убедиться, обратившись к словарям нашего портала). По-видимому, слово профит недавно было заимствовано вновь, но уже из английского языка, отсюда и иное ударение. Вот показательный пример из акцентологического подкорпуса Национального корпуса русского языка: 

Ру́сский, в про́шлый ве́к, сперва́
Бра́л с францу́зского слова́,
А́ тепе́рь англи́йский сти́ль
Ру́сский ста́л сдава́ть в ути́ль.
О́фис ― хо́ть была́ конто́ра,
Про́фит ― вы́года, без спо́ра,
Ма́ркет ― ры́нок, господа́,
И́ марке́тинг же́ сюда́.
[irina1934. Русский, в прошлый век, сперва (2010)]

Названия племен, народов пишутся без кавычек и со строчной буквы, приведем несколько примеров из академического «Русского орфографического словаря»: апачи, гунны, дауры, манси, маори, мещера, мурома, словене, тонга. Так же пишутся и названия, состоящие из двух частей, см., например, статью мяо в «Большой российской энциклопедии».  

Так как слово кабинет уже фиксируется словарями в значении 'орган власти в государстве; то же, что правительство или его часть', 'состав министров, входящих в правительство' и при этом как усеченное официальное название пока не используется (ср. Дума наряду с Государственная дума), корректно написание со строчной буквы, если в тексте фраза воспринимается однозначно: В этом году будет сформирован кабинет. Если же возникает двусмысленность, то лучше использовать полное название Кабинет министров.