Правильно: затрапе́зный. В Метасловаре ошибка, обязательно исправим.

Если это фамилия, то ударение может падать на любой слог,  это определяет носитель фамилии (или автор текста, если речь идет о персонаже). Но, конечно, в рамках одного произведения ударение в фамилии меняться не должно :)

Постановка кавычек зависит от того, что именно перед нами – географическое название (топонимы в кавычки не заключаются) или условное наименование (такие наименования пишутся в кавычках). Насколько можно судить, «Танай» – горнолыжный туристический комплекс, находящийся недалеко от озера Танай; название дано по названию озера. Поэтому: озеро Танай (географическое название, кавычки не нужны), горнолыжный комплекс «Танай», горнолыжный курорт «Танай» (условное наименование заключается в кавычки). Ср.: курорт Карловы Вары (кавычки не ставятся, т. к. перед нами географическое название, Карловы Вары – это город, ставший курортом).

Такие выражения не ошибочны. Язык нельзя сводить к формальной логике, к математическим уравнениям и тождествам. Многие слова и обороты, на первый взгляд лишенные смысла, повышают образность и выразительность речи. Ср.: я видел это своими собственными глазами – казалось бы, здесь три лишних слова: чем еще можно видеть, как не глазами, чьими еще глазами можно видеть, как не своими? Но эти слова отнюдь не лишние, если их убрать, то от эмоционального и образного высказывания останется голая передача информации (я видел это).

Если действие происходит в настоящем, а героиня рассказывает о прошлом, то следует выбрать тот вариант, который будет правильно ее характеризовать.

Так, если она говорит по-старому, значит, она привязана к тому времени и не переучилась называть город на новый лад, а может быть, и не знает, что название изменилось. Если героиня говорит по-новому, скорее всего, она следит за событиями, погружена в современность, а не в прошлое. Так что выбор зависит от того, какими чертами вы хотите наделить персонажа.

Лысый — относительное прилагательное, поэтому в нормативном языке оно не имеет степеней сравнения. Однако окказионально они могут использоваться, например: Генерал пренебрежительно отвернулся, а лицо дивизионного врача стало еще унылее, голова еще лысее… [В. В. Вересаев. На японской войне (1907)]; В сети также предположили, что власти украсили город подобным образом, так как участвуют в соревновании, в котором определяется, «кто лысее елочку установит» [Жители российского города высмеяли «лысую» елку // Lenta.ru, 16.12.2020]. 

Если название географического объекта употреблено с существительным типа город, озеро и т. д., то это название выполняет функцию приложения: на озере Байкал, в городе Москве. Обратите внимание, что названия городов, сел, деревень, поселков, усадеб, выраженные склоняемым существительным, как правило, согласуются в падеже с определяемым словом.

В других случаях географические названия выполняют другие функции. Так, в предложении Я отдыхаю в Москве предложно-падежная форма в Москве — обстоятельство, а в предложении Москва не сразу строилась существительное Москва — подлежащее.

Наличие формы в И объясняется следующим. Город Санкт-Петербург был основан как крепость Санктпитербурх (в честь святого Петра, небесного покровителя императора). Название было дано Петром I. Среди вариантов, встречающихся в письмах Петра Великого: Санктъпетерсъбурк (1703), Санктпитербурх (1703), Питербурх (1706), Санктпетерзбурк (1710); позже преобладают варианты с -Питер-: Санкт-ПитерБург (1714), Санктъ Питербурх (1720). В газете «Ведомости» чаще упоминается в форме Санктъпитербурх, и только с июля 1724 г. вместо Питер- начинают постоянно печатать Петер-. Очевидно, от форм с И и было образовано сокращенное Питер.

Наличие формы в И объясняется следующим. Город Санкт-Петербург был основан как крепость Санктпитербурх (в честь святого Петра, небесного покровителя императора). Название было дано Петром I. Среди вариантов, встречающихся в письмах Петра Великого: Санктъпетерсъбурк (1703), Санктпитербурх (1703), Питербурх (1706), Санктпетерзбурк (1710); позже преобладают варианты с -Питер-: Санкт-ПитерБург (1714), Санктъ Питербурх (1720). В газете «Ведомости» чаще упоминается в форме Санктъпитербурх, и только с июля 1724 г. вместо Питер- начинают постоянно печатать Петер-. Очевидно, от форм с И и было образовано сокращенное Питер.

ИЗВИНИТЬ, -ню, -нишь; извинённый; -нён, -нена, -нено; св. кого-что.
1. (за что, также с придат. дополнит.).
Проявить снисходительность, не поставить в вину чего-л.; простить. Прошу извинить за беспокойство, за навязчивость, за опоздание, за грубость. И. друга, брата. И. чью-л. глупость, чьё-л. невежество. Извините, что заставил вас подождать. Извиним ребёнку его любопытство. Извините за выражение (разг.;
употребляется при введении в разговор резких, грубых слов).
2. чем.
Признать заслуживающим снисхождения в силу чего-л.; оправдать. И. опоздание болезнью, рассеянностью, бессонницей. Взятку нельзя и. бедностью. < Извинять, -яю, -яешь; извиняющий; нсв. Извиняться, -яется; страд. Извини; извините, в зн. межд. Разг.
Выражает протест, несогласие с чем-л., отказ в чём-л. Сходишь в магазин? - Нет уж, извини! У него высшее образование. - Извините! Это не так.