Выполнить и нажать – это инфинитивные формы, они обладают только постоянными (классифицирующими) признаками: у них можно определить вид (совершенный/несовершенный) и переходность/непереходность. Наклонение – словоизменительная категория. Подробнее о морфологических признаках глаголов см. в учебнике Е. И. Литневской «Русский язык: краткий теоретический курс для школьников».

Указанная запятая нужна.

Приведите, пожалуйста, пример такого текста.

В СГС это действительно может быть или фазисная, или модальная связка. Инфинитив должен быть субъектным (это то, что спрашивающий имеет в виду, говоря, что действие «выполняет подлежащее»). Объектный инфинитив (Мама попросила Сережу встретить ее на остановке) в СГС не входит и является дополнением. Субъектный же инфинитив не входит в СГС в том случае, когда, во-первых, глагол в спрягаемой форме не имеет ни модального, ни фазисного значения, во-вторых, этот инфинитив называет цель действия по основному глаголу (Мы отправились на речку купаться). Способ проверки очень простой: перед таким инфинитивом можно вставить союз чтобы.

В предложении Я не успела послать письмо глагол успела обозначает отношение субъекта к действию, обозначенному инфинитивом. Отношение может быть разным: хотела послать, смогла (не смогла) послать, умудрилась послать, не сумела послать, успела… мечтала… и т. д. А обозначение этого отношения и есть функция модальной связки СГС. Поэтому здесь, безусловно, СГС. Да и союз чтобы вставить никак не получится.

Может быть, так: Система выдаст сообщение об удачно выполненном действии.

Знак сноски все равно ставится перед точкой – даже если примечание относится ко всему предложению.

Второй вариант (без повтора предлога) лучше.

Если речь идет о том, что кота кто-то нарядил, то речь может идти о смысловой ошибке.

Сами по себе сочетания корректны, но нужно исходить из контекста. Под пассивным может подразумеваться непроизвольное действие (чихать, например) или действие, не имеющее действующего лица (светать, знобить). Смыл в этом?