Вот как эти варианты описывает справочник "Управление в русском языке" Д. Э. Розенталя:

Специализироваться по чему - приобретать специальные познания, навыки в какой-либо отрасли науки или техники.

Специализироваться в чем и на чем - закрепляться за какой-либо одной специальной областью деятельности или сферой использования.

Таким образом, верно: студент специализируется по физиотерапии; компания специализируется в  нефтедобыче (на нефтедобыче).

При сокращении цитаты, уже имеющей многоточия, выполняющие те или иные свойственные им функции, многоточие, поставленное автором, цитирующим текст, указывающее на сокращение цитаты, заключается в угловые скобки. Это единственный случай использования угловых скобок.

Знак конца предложения (в Вашем случае - точка) ставится, если цитата не является самостоятельным предложением (включается в предложение как его члены и начинается со строчной буквы).

Разграничение указанных Вами функций многоточия в цитате правилами не предусмотрено. Однако некоторые авторы последовательно заключают многоточие, указывающее на сокращение цитаты, в угловые скобки <...>. При этом отметим, что в «Справочнике издателя и автора» А. Э. Мильчина и Л. Э. Чельцовой такой знак рекомендуется использовать, только если из цитаты исключается фрагмент, состоящий из целого предложения (одного или нескольких).

Да, если глаголол ложи́ться  употреблен в следующем значении:

ЛОЖИ́ТЬСЯ, несов. (сов. лечь). Располагаться (расположиться) где-л., приняв горизонтальное положение (о людях и некоторых животных) [impf. to lie down; to go to bed]. В девять вечера Сонечка всегда ложилась спать, хотя заснуть долго не могла, и мама читала ей сказки. На осмотре врача больной лег на спину.

Нет, такое сочетание некорректно. 

РАССЫПЧАТЫЙ, -ая, -ое; -чат, -а, -о. 1. Легко рассыпающийся на отдельные крупинки, частицы, легко крошащийся. Р-ая каша. Р-ая картошка. Р-ое печенье. 2. Прерывисто, дробно разносящийся. Р. смех. Р-ые трели соловья. Р-ые звуки гармоники. 3. Разг. Полный, пышный, дородный (о человеке). Тело белое, р-ое. Дама полная, р-ая. Рассыпчато, нареч. (2 зн.). Рассыпчатость, -и; ж.

В данном случае парными тире выделяется вставная конструкция на пять частей, а после нее нужна запятая, потому что далее следует придаточная часть сложноподчиненного предложения: Они делятся настолько мелко — на пять частей, — что их становится трудно контролировать. Вместо парных тире можно использовать скобки: Они делятся настолько мелко (на пять частей), что их становится трудно контролировать.

Запятая нужна. При этом само указание на номер и том уместно заключить в скобки, потому что в этом указании существительные не в предложном падеже, в отличие от словоформы в журнале: Документ опубликован в журнале «Вестник» (№ 1, том 2). Сравним вариант с уточняющими обстоятельствами: Документ опубликован в журнале «Вестник», в № 1, в томе 2.

В русском языке сложилась традиция заключать в подобных случаях географическое название в скобки или использовать прилагательное, ср.: «Локомотив» (Москва) или московский «Локомотив». Корректно: игрок «Боруссии» (Дортмунд) или игрок дортмундской «Боруссии». Что касается кавычек: они уместны в тексте, но не в таблицах, схемах и т. п. (где перечисляется много команд и где кавычки будут мешать восприятию). В турнирной таблице можно использовать обозначение Боруссия Д

Эти слова синонимичны в значении "общепринятый, установившийся, традиционный порядок, укоренившийся в быту с давних пор".

Слово традиция имеет также значение "то, что переходит или перешло от одного поколения к другому путем предания, устной или литературной передачи (напр. идеи, знания, взгляды, образ действий, вкусы и т. д.)": Традиции реализма в русской литературе. Пересмотр старой традиции (т. е. установившегося мнения в области какой-н. науки).