На наш взгляд, оборот объектов культуры федерального значения является приложением. Положение в конце предложения свойственно приложениям, которые обладают качественно-характеризующим значением и могут заключать в себе дополнительное сообщение о субъекте. Такие приложения соотносительны с самостоятельными предложениями: В Енисейске сохранилось множество старинных храмов и зданий; они являются объектами культуры федерального значения. 

Действительно, приставка недо- имеет значение неполноты, недостаточности (по сравнению с нормой), а раздельное написание не до-... используется, когда нужно обозначить не доведенное до конца действие. Поэтому глаголы недолюбил и недомечтал следует писать в этом контексте слитно.

Что касается глагола недописал / не дописал, то здесь есть аргументы как в пользу слитного, так и в пользу раздельного написания. Фраза, на наш взгляд, будет выглядеть гармоничнее, если все три глагола Вы напишете слитно.

Сочетание библиотека им. А. С. Пушкина – это описательный оборот, в первом слове которого прописная буква не нужна. Однако правила орфографии допускают функционирование усеченных названий, и эта тенденция становится все более и более заметной. На наш взгляд, использование описательного оборота в качестве усеченного названия, то есть написание его с прописной буквы, допустима в официальных документах. Такую замену можно предварить комментарием: Центральная городская публичная библиотека им. А. С. Пушкина (далее – Библиотека им. А. С. Пушкина).  

Не обособляется деепричастный оборот, тесно связанный по содержанию со сказуемым и образующий смысловой центр высказывания. На наш взгляд, в Вашем предложении запятая все же нужна, так как предложение содержит два смысловых центра – сказуемое и деепричастный оборот.

На наш взгляд, каждый пункт лучше оформить как самостоятельное предложение. 

Пунктуация верна. Однако в третьем предложении, на наш взгляд, более подходящим знаком является тире. Однородные компоненты объявляет арестанта преступником и выносит смертный приговор по смыслу подчинены сочетанию идёт против своей совести, они показывают, что именно совершает прокуратор против совести. Эту смысловую подчиненность, пояснительный характер компонентов можно показать знаком тире.

Пунктуационных ошибок нет, но текст небезупречен: в нем много неудачных и неправильных формулировок. Заключительная фраза, на наш взгляд, при отказе неуместна. Рекомендуем текст переписать. 

Вне зависимости от того, указывает ли местоимение их на слова олени или ареалы, оба придаточных относятся к одному главному: сохраняются разные ареалы обитания, хотя... их ничего не разделяет и (хотя) все.... животные родились после падения «железного занавеса». На наш взгляд, в данном случае вариантов нет, запятая не нужна.

Корректная пунктуация: Наш читатель, преподаватель музыкальной школы Иванов Игорь Иванович рассказал историю своей жизни.

Давайте начнем с двоеточия после слов автора. Правило звучит так: если в словах автора, находящихся внутри прямой речи, имеются два глагола со значением высказывания, из которых один относится к первой части прямой речи, а другой — ко второй, то после слов автора ставятся двоеточие и тире, причем первое слово второй части пишется с прописной буквы.

В Вашем примере в словах автора только один глагол со значением высказывания (прервала), который относится к первой части прямой речи. А значит, предложение оформляется по обычным правилам: Нет, подожди, — женщина прервала его и, протянув руку, улыбнулась. — Мне нужен всего один.

В данном случае, на наш взгляд, рассматривать улыбнулась как глагол со значением высказывания можно с большой натяжкой. Но в этом случае оформление будет следующим: Нет, подожди, — женщина прервала его и, протянув руку, улыбнулась: — Мне нужен всего один.

Что касается отдельного предложения, то обычно оно располагается после прямой речи и, главное, не содержит глагола со значением высказывания, относящегося к прямой речи.