В этом фрагменте действительно есть подчинительная связь, выраженная союзом чтобы; главная часть сложноподчиненных предложений с этим союзом неполная: Иногда [им приходится включаться в судьбы людей], чтобы помочь. Иногда [им приходится включаться в судьбы людей], чтобы поддержать. Подобные случаи не описаны в имеющихся справочниках. Единственный пример, похожий на Ваш, находим в справочнике по пунктуации Д. Э. Розенталя, в параграфе 38.2: Одни спрашивают, почему произошла задержка с решением вопроса, другие — почему он вообще возник, третьи — отчего попутно не рассматриваются и остальные вопросы. Как видим, неполнота главной части — условие постановки тире. Очевидно, в приведенном Вами фрагменте предпочтительно тире: Им приходится включаться в судьбы людей. Иногда — чтобы помочь. Иногда — чтобы поддержать. Впрочем, утверждать, что постановка запятой в этом случае ошибка, было бы слишком категорично.

Это слово не зафиксировано в орфографических словарях. В литературе оно встречается и в слитном, и в раздельном написании, причем колебания наблюдаются даже в разных изданиях одного и того же текста, напр. в рассказе В. Распутина «Уроки французского»: 

– «Чика» не считово. – Почему это не считово? [В. Распутин. Деньги для Марии. Последный срок. Рассказы. 2018]; 

– «Чика» несчитово. – Почему это несчитово? [Литература. 7 класс. Часть 2. 17-е изд. 2014].

В литературе употребления без не единичны, и это дает основания предположить, что возможно написание несчитово по правилу о словах, которые без не не употребляются. Но слово это жаргонное, сфера его функционирования – устная разговорная речь, примеров употребления в художественной литературе немного. При этом контексты со словом считово без не не воспринимаются как ошибочные (напр.: но это было не считово. А считово было возникновение преграды). Наша рекомендация – писать слитно или раздельно по основному правилу о не с наречиями, а в контекстах, где нет условий для обязательного раздельного написания (например, при отсутствии противопоставления), писать слитно. 

Предикативная основа простого предложения — это его подлежащее и сказуемое, а в односоставных предложениях — либо подлежащее, либо сказуемое. Подробно о предикативных основах можно почитать в «Русской грамматике».

Поскольку в качестве примера Вы привели одно из тестовых школьных заданий, мы не можем разобрать его в «Справке».

Правильно: из Волжского, из города Волжского. Это название склоняется и в сочетании с родовым наименованием город.

Для поставновки указанной запятой нет оснований.

Нужно поставить либо два тире, либо две запятые.

В приведенном Вами примере нужна запятая перед тире.

Зависимость обратная: не ударение зависит от письма, а написание зависит от места ударения в слове. Поэтому вначале нужно выяснить у носителя фамилии, как падает ударение.

В вопросах правописания рекомендуем ориентироваться на орфографический словарь, то есть использовать вариант кеш.

Корректно: Я услышал голос, который я не узнал.