Верно: возложить полномочия по государственной регистрации актов гражданского состояния на органы власти.

При передаче устной речи используются, как правило, названия букв, например: Что ж, здравствуйте, девятый «вэ», — сказал он (А. Иванов); Тебе тоже нужно: «а» — привыкнуть, что ты «крайняя»; «бэ» — натренироваться четко координировать работу в этом стрессе; «вэ» — спланировать и организовать дело так, чтобы стресса не было; «гэ» — делегировать полномочия и работу (П. Акимов).

Соответственно, рекомендуем такое оформление диалога:

— Вот как вы поступите, если встретите на улице молодую симпатичную женщину? «А» — пройдете мимо, «бэ» — посмотрите ей вслед, «вэ» — пригласите ее к себе домой на чашечку кофе со всеми вытекающими из этого последствиями. Отвечайте не раздумывая.
— Не раздумывая — не смогу, потому что «а» — мне неясно, какие последствия могут вытечь из чашечки кофе, «бэ»...

Обратите внимание, что при передаче устной речи местоимение вы, даже обращенное к одному лицу, принято писать со строчной буквы.

Запятая не нужна, так как придаточное предложение включено в ряд однородных компонентов: попасть… по согласованию и… если у них есть… См. § 115 в «Правилах русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

На наш взгляд, формулировка становится более внятной, если принять Ваше предложение и избавиться от тавтологии:

Органы местного самоуправления обязаны:
— определять должностных лиц и (или) органы, уполномоченные осуществлять отдельные государственные функции.

Здесь всё зависит от того, идет речь об одном и том же договоре или о двух разных. Если это один и тот же договор, союз или имеет значение «то есть» и перед ним ставится запятая. Если это разные договоры, союз или имеет разделительное значение и перед ним запятая не нужна.