Если константа С ранее не упоминалась в тексте, то необходимо сделать акцент вначале на существовании константы С, а затем на ее характеристиках, а значит, запятая нужна: ...для функции f существует константа C, [причем] такая, что выполняется соотношение... Если константа С ранее в тексте упоминалась, только ее характеристики были другими, то запятая не нужна: ...для функции f существует константа C такая, что выполняется соотношение...

Нормативными словарями современного русского языка существительное беспилотие не зафиксировано. Однако нам встречались редкие упоминания этого слова в качестве термина, которым обозначают отрасль беспилотной авиации.

На вторую часть Вашего вопроса ответить проще. Дело в том, что в этой приставке под ударением пишется чаще о, но в реальности — то, что слышится, то есть иногда и а: ра́спят, ра́звит (ср. ро́спись, ро́зыск), не говоря уже о ра́зум и ра́спря, где приставка практически не осознается. Поэтому без вариантов в написании гласного никак не обойтись. 

Тогда как вопрос о том, чтобы подвести написание приставок на з/с под общий принцип передачи на письме значимых частей слова, встает при каждом новом обсуждении путей усовершенствования русской орфографии. Решение Орфографической комиссии, закрепленное декретами 1917 и 1918 гг., состояло в том, чтобы распространить мену з на с на все приставки перед всеми буквами, обозначающими глухие согласные (в том числе и перед буквой с, чего ранее не было, а также на приставки без- и через-(чрез-), которые ранее писались только с конечным з). Можно полагать, что установление именно такого правила было связано с попыткой устранить содержащуюся в нем непоследовательность. Мена согласных именно в этих приставках обусловлена историческими причинами. См. формулировку М. В.  Ломоносова в "Российской грамматике" (1755):  "Предлоги, которые из согласных з и с составляются, из сего правила должно выключить, ибо древнее их употребление к тому принуждает. Положим, чтобы употреблять с, невзирая ни на мягкость, ни на твердость следующих согласных, то должно писать исбытокъ, расрыть, восбраняю. Положим, чтобы вместо с была всегда з, то принуждены будем писать: зколачиваю, зтекаю, изтребляю, возкресеніе. Но, видя коль странно и дико сие кажется перед избытокъ, разрыть, возбраняю, сколачиваю, стекаю, истребляю, воскресеніе, мне кажется, должно признаться, что для привычки перед мягкими з, воз, из, раз, перед твердыми с, воз, ис надлежит оставить".

Правилен первый вариант.

Правило, на которое Вы ссылаетесь, следует признать неполным. Написание ранее не судимый корректно и закономерно преобладает в практике письма. Наречие времени так же, как и существительное в тв. падеже со значением деятеля, актуализирует глагольные признаки слова, значит перед нами причастие, которое с не нужно писать раздельно. В орфографических словарях сочетание ранее не судимый не приводится, над дополнением правил об отрицании орфографисты работают.