Если Вы имеете в виду часть наименования после тире, то слово филиал следует использовать в том же падеже, что и слово мастерские.
И. п.: Механические мастерские – филиал федерального государственного казенного учреждения.
Р. п.: Механических мастерских – филиала федерального государственного казенного учреждения.
Д. п.: Механическим мастерским – филиалу федерального государственного казенного учреждения.
В. п.: Механические мастерские – филиал федерального государственного казенного учреждения.
Т. п.: Механическими мастерскими – филиалом федерального государственного казенного учреждения.
П. п.: (О) механических мастерских – филиале федерального государственного казенного учреждения. 

Запятая после вводного слова например не нужна: если вводное слово стоит в начале обособленного члена предложения (в данном случае пояснительного), то оно не отделяется от него знаком препинания.

В правилах орфографии нет запрета на перенос имен собственных, их делят на части для переноса, следуя общим рекомендциям. Предложенные в вопросе варианты переноса корректны. 

Верная пунктуация: На последнем, пятом этаже расположены мастерские.

Деепричастный оборот обособляется, запятая нужна.

При существительных мужского и среднего рода, зависящих от числительных два, три, четыре (а также от составных числительных, оканчивающихся на два, три, четыре), определение, находящееся между числительным и существительным, принимает форму родительного падежа множественного числа: тридцать три творческих объединения. При существительных женского рода в указанных условиях определение чаще ставится в форме именительного падежа множественного числа: тридцать три творческие мастерские.

Это постижерские мастерские.