кабарди́но-балка́рский
Ответы справочной службы
См. здесь.
В первом случае тире стоит между подлежащим и сказуемым, а во втором – выделяет приложение.
Если слово республики стоит в форме множественного числа, корректно написание со строчной буквы: республики Кабардино-Балкария, Северная Осетия, Дагестан.
Журнал
Сервис «Яндекс Переводчик» пополнился двумя языками народов Северного Кавказа — карачаево-балкарским и кабардино-черкесским. Пользователи уже могут выбрать их на сайте и в приложении переводчика, а также в Яндекс-поиске. Научное сопровождение проекта обеспечил Карачаево-Черкесский институт гуманитарных исследований им. Х. Х. Хапсирокова (КЧИГИ). Яндекс совместно с Домом народов России и Федеральным агентством по делам национальностей запустил проект ...
...Северного Кавказа — карачаево-балкарским и кабардино-черкесским...
...Кабардино-черкесский язык (также известный как кабардинский...
...Этот язык также является государственным в Кабардино-Балкарии...