благодарствовать, -твую, -твует
БЛАГОДАРСТВОВАТЬ, благодарствую, благодарствует \\ бл[ə]годарствовать; в формах с сочетанием ствова: благодарствовать, благодарствовал... – благодарс[тв]овать, в беглой речи возможно благодарс[т]овать; в формах с сочетанием ющ: благодарствующий... – благодарству[йу]щий и допуст. благодарству[и]щий.
Ответы справочной службы
Благодарствовать (устар. и прост.) – то же, что благодарить. Формы благодарствую, благодарствуем могли употребляться и с винительным, и с дательным падежом: Благодарствую тебя за сынка и за себя П. Ершов, Конек-Горбунок. Я получил твое письмо, за которое благодарствую тебе. С. Есенин, Письмо Г. Панфилову.