Ответы справочной службы
Кавычки не нужны.
Категоричность в случае с именами оправданна в официальных бумагах. Мифологичность представлений об употреблении тех или иных слов опровергают словарные толкования; см. описание значений слов прозвище и кличка в «Большом толковом словаре русского языка» (гл. ред. С. А. Кузнецов).
Оба слова в кличке нужно писать с прописной: Рыжий Пес.
Справочники
§ 123. Пишутся раздельно: Сочетания русского имени с отчеством и фамилией или только с фамилией, напр.: Александр Сергеевич Пушкин, Лев Толстой. Имена исторических и легендарных лиц, состоящие из имени и прозвища, напр.: Владимир Красное Солнышко, Всеволод Большое Гнездо, Ричард Львиное Сердце, Александр Невский, Илья Муромец, Василий Блаженный, Пётр Великий, Плиний Старший, Мария Египетская; так же пишутся подобные по структуре имена литературных персонажей, клички животных, напр.
...§ 123. Пишутся раздельно: Сочетания русского...