Да, тире необходимо.
Название заповедника Столбы в кавычки не заключается.
Большинство словарей рекомендует ставить ударение на первый слог. Однако, по-видимому, норма меняется. В «Грамматическом словаре» А. А. Зализняка (М., 2008) уже допускается оба варианта, а в «Словаре трудностей русского языка для работников СМИ» М. А. Штудинера (М., 2016) вариант с ударением на втором слоге дан как предпочтительный.
Правильно: Пушкинский заповедник.
Да, Вы правы. Кавычки уместны.
Правильно: государственный музей-заповедник (прилагательное государственный относится к обеим частям наименования "музей-заповедник").
Постановка запятой не требуется.
Корректно: заповедник «Три столба», «Томские стоянки».