За что — это союзное слово (с предлогом). В данном случае оно служит средством связи частей сложноподчиненного предложения особого типа. Вот что говорится о них в справочнике Е. И. Литневской: «В русском языке представлен еще один тип придаточных предложений, не нашедший отражения ни в одном из учебных комплексов. Это придаточные присоединительные. Их особенность заключается в том, что они не эквивалентны ни одному из членов предложения, к ним не может быть поставлен вопрос от главной части, что является причиной их выделения в отдельную группу».

Местоимение что, в том числе с предлогом за, в разных контекстах может быть вопросительным (За что его наказали?) или относительным, то есть союзным словом (Я не понял, за что его наказали — придаточное изъяснительное).

Согласно наиболее распространенной сегодня структурно-семантической классификации сложноподчиненных предложений, это сложноподчиненное предложение с придаточным присоединительным. В учебнике Е. И. Литневской на нашем портале отмечается, что это тип СПП, «не нашедший отражения ни в одном из учебных комплексов». Особенность придаточных присоединительных «заключается в том, что они не эквивалентны ни одному из членов предложения, к ним не может быть поставлен вопрос от главной части, что является причиной их выделения в отдельную группу».

Правилен первый вариант. Название города Хива освоено и поэтому в сочетании со словом город склоняется. Ср.: Так наконец мы проникли настолько внутрь города Хивы, что оказались в самой Хиве, той, что является ее красой и славой, той, что является Хивой для всех нехивинцев… (А. Битов. Обоснованная ревность); Устроив Ханом в комнате, Чагатаев ушел наружу и до вечера ходил по городу Хиве... (А. Платонов. Джан).

В этом предложении слово что является относительным местоимением (союзным словом) в роли подлежащего.

Будь что будет без запятой, потому что является неразложимым сочетанием. О запятой перед что можно прочитать в учебнике С. Г. Бархударова «Правила русской орфографии и пунктуации» в разделах о придаточных предложениях и сравнительных оборотах.

В этом сложноподчиненном предложении слово что является союзным словом — частью сочетания что такое, с помощью которого придаточная часть присоединяется к главной. Придаточная часть внутри главной выделяется запятыми. В составе придаточной части сочетание что такое играет роль сказуемого при подлежащем лето.

В подобных случаях (определительное местоимение + указательное местоимение) выбрать, что является подлежащим, а что — определением к нему, невозможно: обе трактовки равно вероятны. Формы местоимений могут с равным успехом идентифицироваться и как адъективные (местоимения-прилагательные), и как субстантивные (местоимения-существительные). Поэтому считается, что подлежащим в таких случаях целесообразно признавать сочетание всё это.