Орфографическими словарями не предусмотрено написание слова лицей с прописной буквы в значении 'Царскосельский лицей', поэтому корректно написание со строчной.
Правильно: В 1811 году Пушкин уехал из Москвы, чтобы поступить в Царскосельский императорский лицей.
Корректно: Директору ГБОУ "Лицей № 101".
Корректно: И. п. лицея кубеба, Р. п. лицеи кубеба, Д. п. лицее кубеба, в. п. лицею кубеба, Т. п. лицеей кубеба, П. п. о лицее кубеба.
Если слова Лицей № 5 являются официальным названием муниципального образовательного учреждения (МОУ), то правильно: МОУ «Лицей № 5» г. Купеческа.
В образцовой литературной речи названия городов склоняются в сочетании со словом город: лицей города Лобни. Но в официальных документах название должно указываться в соответствии с тем, как оно зарегистрировано.
Правильно: работа ученика ГБОУ «Лицей № 1».
Следует писать с маленькой буквы.
Верно: администрация МАОУ «Лицей № 21».
