Имя собственное Лиепая женского рода. Обратите внимание, что в предложном падеже оно имеет окончание -е: Военные сборы проходили в латвийской Лиепае.

Можно написать салон мебели или салон «Мебель» (если «Мебель» выступает как имя собственное — наименование салона).

Корректно: управляющий театром «Грушевый сад».

Поскольку следующее предложение начинается с прописной буквы, точка нужна.

Слово один несет в себе значение неопределенности (см., например, словарную статью один⁴ в «Большом универсальном словаре русского языка»), что заставляет понимать имя собственное как поясняющее приложение к этому слову и выделить его знаками препинания. Но если оно будет выделено знаками препинания, то приобретет характер попутного замечания, станет малозначимым, что неуместно в приведенном контексте. Гораздо лучше будет поменять местами сочетания так, чтобы приложением стала характеристика человека, а не имя собственное: Наталья Алексеевна Петрова, один из старейших наших академиков, выступила с докладом на симпозиуме.

Запятая перед тире не нужна, верно: Заглянуть в мастерскую бренда и создать собственное украшение под руководством талантливых специалистов — это мечта, и она сбылась!

Прописные буквы не требуются: олимпийское движение; российское олимпийское движение.

1. Перед нами пример возникающего в диалоге феномена отраженной речи, к которой относится не только цитирование реплики собеседника, но и интеграция фрагментов высказывания собеседника в собственное высказывание. Примеры второго типа — а в данном случае именно такой пример, поскольку в интегрированном высказывании другое лицо (второе), нежели в исходной реплике (первое), — не описаны в справочниках по пунктуации. По своей структуре рассматриваемая реплика представляет собой бессоюзное сложное предложение, первая часть которого содержит глагол с незамещенной синтаксической позицией. В таких предложениях эталонным знаком является двоеточие, например: Я тебе определённо скажу: у тебя есть талант (Ф.). Однако интонационный рисунок высказывания с отраженной речью несколько другой, поэтому рекомендуем поставить между частями тире (оно и в целом допускается правилами как замена двоеточия, см. примечание 2 к параграфу 129 справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина). Добавим, что рассматриваемое предложение вопросительное (представляет собой удивленный или возмущенный вопрос), поэтому нужно поставить соответствующий знак конца предложения — вопросительный знак либо сочетание вопросительного и восклицательного знаков, например:
— Я не хочу идти с тобой.
— Что значит — ты не хочешь идти со мной?!

2. Ряд вопросов, комментирующих содержание высказывания, вполне уместно представить в виде вставной конструкции, но лучше оформить ее в скобках. Поскольку это часть одного предложения, вопросы начинаются со строчной буквы: В тот день, когда она находилась дома (а точно ли находилась? кто-то проверял? она может представить доказательства?), всё и произошло. Обратите внимание, что со словом доказательства лучше использовать глагол представить.

Названия в сочетании с родовым словом заключаются в кавычки и пишутся с прописной буквы; имя собственное в составе названия тоже пишется с прописной: узор «Принц Уэльский».

В сочетании византийский император Юстиниан три слова: прилагательное византийский, нарицательное существительное император и имя собственное Юстиниан.