Это сочетание как географический термин должно писаться с большой буквы: Северная Калифорния.
Корректно: для материка Северная Америка.
Орфографический словарь
Верно: Северная и Южная Америка.
Правильно: Северная столица.
Ставится тире (с пробелами до и после тире) между двумя названиями, одно из которых неоднословное.
Правильно: Северная и Южная Америка.
Таким образом, образное название Кореи - Страна утренней свежести - возникло задолго до разделения страны на Северную и Южную Корею, поэтому сейчас на это название претендуют оба государства.
Правильно: Северная столица. См.: В. В. Лопатин, И. В. Нечаева, Л. К. Чельцова. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2007.