При сохранении общего смысла "на острова" предпочтительно использование предлога НА: на Южную Георгию и Южные Сандвичевы Острова.
Географические названия: остров Путятина, остров Аскольд.
Правильно: остров Татышев.
Правильно: Остров свободы.
Да оба слова пишутся с большой буквы: Лосиный Остров.
Правильно: остров Татышев.
Правильно: остров Татышев (от имени Татыш).
Если речь идет о географическом названии (пусть и вымышленном), верно: остров Невезения (по общему правилу). Как название песни – «Остров Невезения».
А вот если какая-нибудь территория будет образно названа Островом невезения, верным будет именно такое написание (в образных названиях с прописной буквы пишется первое слово), ср.: Остров свободы (о Кубе).
Нейтрально (не в энциклопедии): Крысий остров.