По замыслу авторов, ответ, возможно, должен сводиться к тому, что здесь прощай — глагол, главный член определенно-личного предложения, поскольку всё упражнение нацелено на выявление учениками именно таких предложений. Но на самом деле прощай(те), конечно, давно не глагол, а междометие — так же, как и здравствуй(те). В парадигму словоизменения глагола прощать это междометие не входит: у глагола другое значение (ср. Всегда прощай своим близким мелкие прегрешения). Поэтому разумнее расценить включение в упражнение этого фрагмента как ловушку — и объяснить ученикам, что прощай было определенно-личным предложением в незапамятные времена (задолго до Пушкина!), а затем, в результате регулярного употребления в качестве формулы прощания, отделилось от глагола и превратилось в междометие.

Попутно можно дать школьникам и представление о том, что не всякое высказывание опирается на грамматическую модель предложения.

Можно использовать двойное подчеркивание: весь деепричастный оборот подчеркнуть как обстоятельство, а обособленное определение в его составе — еще и как определение.

Простите, но вопрос, который Вы задаете («почему в России много подчеркивают»), сам по себе плохо понятен, а если к тому же Вы не хотите уточнить, в каком значении используете слово подчеркивают, ответить на этот вопрос и вовсе не представляется возможным.

Полагаем, можно подчеркнуть, указав над буквой я, что она обозначает два звука, подчеркнув дополнительно [й]. Хотя рассуждать можно и иначе: задание — подчеркнуть буквы, обозначающие мягкие согласные звуки, а не буквы обозначающие два звука. Что имели в виду составители задания, трудно разгадать. 

Ошибки в обоих случаях нет, однако...

Односоставное предложение имеет только один из главных членов. Главный член в нем независим, поэтому некорректным было бы характеризовать главный член любого односоставного предложения в терминах двусоставного — как сказуемое или подлежащее. Однако в школьной практике (в ряде учебников) сохраняется традиционная классификация односоставных предложений: с главным членом — сказуемым и с главным членом — подлежащим.

Членом предложения является предложно-падежная форма целиком (в лесу), так что подчеркивать нужно и предлоги (хотя это и не принципиально). Возможно, учителя хотят подчеркнуть, что служебные части речи (предлоги) не являются членами предложения сами по себе. 

Да. Предлоги не могут выступать как самостоятельные члены предложения, однако они употребляются в составе предложно-падежной группы, совместно с формой падежа выражая определенное значение. Поэтому предлог принято подчеркивать вместе с существительным, к которому он относится. При этом необходимо обратить внимание на случаи, когда предлог и существительное разделены прилагательными или причастиями, например: вместо старшего брата. В этом случае ошибкой будет подчеркивание предлога вместе с прилагательным как определения; подчеркивание должно быть следующим: вместо старшего брата.

Спасибо! Действительно, противоречие налицо (в том числе и в разных изданиях орфографического словаря). См. также ГОСТ 8.417-2002 (рекомендация сокращать минуты и секунды без точки). Мы передадим Ваши письма в Орфографическую комиссию РАН.

Пунктуация верна.

Части речи не нужно подчеркивать. Подчеркиваются (при синтаксическом разборе) члены предложения.