Первое слово стилистически нейтральное, второе — разговорное.
Правильно: подвизаться.
Под гору означает спускаться. Под гору – вниз, в гору – наверх.
Употребительно: подняться на лифте, воспользоваться лифтом. Но: курить в лифте.
Лучше: подписаться под заявлением, расписаться на заявлении, поставить подпись в заявлении.
Правильно слитное написание. См. окно «Искать на Грамоте».
"Подвизаться" сопоставимо с "подвигом".
Большой толковый словарь
1.
к Подлить - подливать и Подлиться - подливаться.
2. Спец.
Раствор извести для скрепления кирпичной кладки; подливка (3 зн.). < Подливной, -ая, -ое. Спец. П-ая кладка. П-ое колесо
(колесо на мельницах, вращающееся под воздействием подливающейся под него воды).
ПОДЛИВА, -ы; ж.
=Подливка (2 зн.). Картофельные оладьи с подливой из свежих грибов. Глухарь в подливе со сливами.
ПОДЛИВАНИЕ; ПОДЛИВАТЬ см. Подлить.
ПОДЛИВАТЬСЯ см. Подлить и Подлиться.
ПОДЛИВКА, -и; мн. род. -вок, дат. -вкам; ж.
1.
к Подлить - подливать.
2. Разг.
Жидкая приправа, которой поливают кушанье; горячий соус. Овощная п. П. из помидоров и грибов. Добавить подливы.
3. Спец.
Раствор извести для скрепления кирпичной кладки.
По основному правилу тире не требуется.