Первое слово стилистически нейтральное, второе — разговорное.
Правильно: подвизаться.
Под гору означает спускаться. Под гору – вниз, в гору – наверх.
Употребительно: подняться на лифте, воспользоваться лифтом. Но: курить в лифте.
Лучше: подписаться под заявлением, расписаться на заявлении, поставить подпись в заявлении.
Правильно слитное написание. См. окно «Искать на Грамоте».
"Подвизаться" сопоставимо с "подвигом".
По основному правилу тире не требуется.
Форма такая есть, употребление зависит от контекста.
Названные слова можно характеризовать как разговорные.