Правильно: скрепя сердце – против воли, против своих убеждений, мужественно. Скрепя - то же, что скрепив. Оборот, вероятно, связан с движением хватания себя за сердце при сильном седцебиении от волнения, то есть буквально: "скрепить сердце чем-нибудь" . Скрепить в этом выражении имеет внутреннюю форму "сделать крепким".
Правильно: открыт музей-квартира.
Я имею сердце – по-русски так не говорят. Правильно: У меня есть сердце.
Может быть, так: сердце птицы работает..?
Все приведенные Вами варианты корректны.
Оба сочетания возможны, но лишь в значении "сделать доступным, видимым, обнажить".
Здесь верно: пожертвовал сердце.
Верно: "Фили" открыты сегодня. Но лучше: станция "Фили" открыта.
Открыто – краткое причастие, в предложении является частью сказуемого.
