См. в наших словарях.
Верно: удалить волосы под мышкой. Подробнее см. в словарях.
Если речь идет о названии организации, кавычки и прописная буква нужны.
Конструкции-повторы предложных сочетаний с формами местоименных слов пишутся без каких-либо знаков внутри: На чём на чём нам надо поехать?
Неверно использован деепричастный оборот.
См. в «Словаре трудностей».
Писать детский волос можно.
Конкретное существительное может употребляться в собирательном, обобщающем значении, например: Не перевелась ещё благородная птица тетерев (Тургенев). Здесь существительное тетерев использовано в единственном числе, однако оно обозначает множество всех таких птиц.
Правильно: везти в коляске, ехать в коляске.