Корректно: талисман года.
В предложении ошибка. Правильно: запускай бумажного змея. Змей – одушевленное существительное (в т. ч. об игрушке). См.: Зализняк А. А. Грамматический словарь русского языка. – 5-е изд., испр. – М., 2008.
Если Вы имеете в виду часть наименования после тире, то слово филиал следует использовать в том же падеже, что и слово мастерские.
И. п.: Механические мастерские – филиал федерального государственного казенного учреждения.
Р. п.: Механических мастерских – филиала федерального государственного казенного учреждения.
Д. п.: Механическим мастерским – филиалу федерального государственного казенного учреждения.
В. п.: Механические мастерские – филиал федерального государственного казенного учреждения.
Т. п.: Механическими мастерскими – филиалом федерального государственного казенного учреждения.
П. п.: (О) механических мастерских – филиале федерального государственного казенного учреждения.
Запятая перед тире в подобных случаях нужна.
Согласно словарям, слово змей во всех значениях - одушевленное существительное. Учительница в данном случае ошибается.
Правильно: укус змеи, укус собаки (но укушен змеей, укушен собакой).
Падежную форму (в этом случае — родительного падежа) определяем по существительному, с которым количественное числительное согласуется.
Змей – одушевленное существительное во всех значениях (в т. ч. об игрушке).
