Если слова Лицей № 5 являются официальным названием муниципального образовательного учреждения (МОУ), то правильно: МОУ «Лицей № 5» г. Купеческа.
От существительного лицей образуется прилагательное лицейский. Правильно: учиться по лицейской программе.
Правильно: работа ученика ГБОУ «Лицей № 1».
Верно: администрация МАОУ «Лицей № 21».
Название в кавычках не склоняется, так как есть родовое слово МБГОУ: ученицы 6 "Б" класса МБОУ "Лицей № 6"...
Орфографическими словарями не предусмотрено написание слова лицей с прописной буквы в значении 'Царскосельский лицей', поэтому корректно написание со строчной.
Следует писать с маленькой буквы.
Верно: муниципального общеобразовательного бюджетного учреждения «Лицей..»