Все написано верно: "Лисичка-сестричка и волк-зятёк".
Мужская фамилия Пятак склоняется, женская – нет.
Вообще говоря, знаки препинания в предложении не требуются: Затем хочу пойти на ипподром потренироваться. Однако обстоятельство цели потренироваться действительно можно оформить как добавочное сообщение, то есть как присоединительную конструкцию, в случае, если автор хочет акцентировать внимание не столько на нем, сколько на обстоятельстве места на ипподром. Поскольку конструкция не имеет специальных вводящих слов, ее нужно отделить с помощью тире (см. параграф 85 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина): Затем хочу пойти на ипподром — потренироваться.
В указанном месте предложения возможна и запятая — в этом случае между обстоятельствами на ипподром и потренироваться возникают отношения однородности, то есть они образуют открытый перечислительный ряд: Затем хочу пойти на ипподром, потренироваться...; подразумевается, что тренировка будет не на ипподроме.
Желательно инициалы располагать перед фамилией.
См. ответ на вопрос № 281896.
Если имеется в виду союз затем чтобы (в значении "для того чтобы"), то запятая после затем обычно ставится.
Нет. Возможно: разоблачить взяточника, попасться на взятке.
Оба варианта корректны. Если есть возможность использовать кавычки разного рисунка, предпочтителен второй вариант.
Затем — обстоятельственное наречие времени.
