Оба варианта произношения правильны.
На наш взгляд, корректно: ветеринар-дерматолог (ср.: врач-дерматолог, врач-терапевт и т. п.).
В позиции сказуемого значение полной и краткой формы прилагательных обычно совпадает, но у некоторых прилагательных между ними возможны следующие смысловые различия:
1) краткая форма обозначает чрезмерное проявление признака с негативной оценкой, ср.: юбка короткая — юбка коротка;
2) краткая форма обозначает временный признак, полная — постоянный, ср.: ребенок болен (сейчас) — ребенок больной (у него в принципе не всё в порядке со здоровьем).
В случае с пьян / пьяный краткое прилагательное тоже может выражать негативную оценку: ты пьян звучит резче, чем ты пьяный.
Если речь идет о враче, который специализируется и в дерматологии, и в косметологии, то Ваш вариант корректен. Но чтобы избежать недопонимания, лучше изменить формулировку, например так: врач – специалист по дерматологии и косметологии или врач – дерматолог-косметолог.
