Запятая нужна: Да знаю я, где надо спать!
Помета разг. при слове надо дана в «Большом академическом словаре русского языка» (Т. 11. М., СПб., 2008). Видимо, такая оценка данного слова восходит еще к «Толковому словарю русского языка» под ред. Д. Н. Ушакова (М., 1935–1940), где надо тоже сопровождается пометой разг. Однако в других толковых словарях русского языка надо зафиксировано как стилистически нейтральное.
Окончательное решение в подобных случаях правильнее всего оставить за автором текста. Многое зависит от типа текста: например, название не будет склоняться в деловом документе, в официальном сообщении, в туристическом справочнике – везде, где надо передать точную информацию. Если это текст художественный, предпочтительным будет склонение. В любом случае ни склоняемый, ни несклоняемый вариант ошибкой не будет.
Правильно: составное сказуемое (но: односоставное, двусоставное предложение).
Эти сочетания пишутся строчными буквами.