Внутренняя кухня - плеоназм (лексически избыточное сочетание), но при этом довольно устойчивый.
Да, правильно со строчной: параметры солнечной активности.
Кавычки не нужны.
Запятая не требуется.
Двоеточие после слова сообщение нужно (см. примечание к параграфу 50 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя).
Возможны варианты пунктуации: На пике своей активности, а точнее, после выборов молодежная палата прекратит свое существование. На пике своей активности, а точнее после выборов, молодежная палата прекратит свое существование. На пике своей активности, а точнее – после выборов, молодежная палата прекратит свое существование. См. «Справочник по пунктуации» (примечание 3 к пункту 2).