Аббревиатура БАД может употребляться и как склоняемая, и как несклоняемая. Эти варианты зафиксированы «Русским орфографическим словарем» РАН. Поэтому во множественном числе допустимо: БАДы и БАД. Колебания объясняются тем, что это сочетание для русского языка пока еще относительно новое.

Слово Мавретания тоже существует. В истории Древнего мира это название области на северо-западе Африки (западная часть территории современного Алжира и восточная часть территории современного Марокко). В словарях есть и Мавретания (исторический термин), и Мавритания (современное государство в Африке).

Глагол играться в русском языке есть, но отмечен в словарях как разговорный. Это значит, что его употребление вполне допустимо в непринужденной устной речи, но в остальных случаях (в официальной речи, на письме) следует использовать стилистически нейтральный глагол играть.

В разговорной речи выражения джинсы с отворотами и джинсы с подворотами, закатать джинсы на один подворот и на один отворот могут быть синонимичными. В профессиональной речи закройщиков и портных под словами отворот и подворот могут пониматься разные операции.

В существительном ложка не выделяется суффикс -к-, потому что это слово не образовано ни от какого другого слова современного русского языка с помощью суффикса -к-. То же касается слов кружка, шишка: они не образованы ни от каких других слов с помощью суффикса -к-. Во всех этих слова -к- – часть корня.

В существительном кошка выделяется суффикс -к-, потому что это слово образовано от слова кот с помощью данного суффикса (происходит чередование т//ш).

Словосочетание решить вопрос корректно, оно зафиксировано словарями русского языка.

Дело в том, что у слова вопрос есть несколько значений. Одно из них – 'устное или письменное обращение, требующее ответа, разъяснения и т. п.; слова спрашивающего'. В этом значении вопрос, действительно, задают, на вопрос отвечают.

Но есть у слова вопрос и значение 'положение, дело, задача и т. п., требующие обсуждения, разрешения; проблема'. В этом значении существительное вопрос нормально сочетается с глаголом решить: решить вопрос = решить проблему.

Чтобы разобрать эти слова по составу, необходимо воспользоваться следующими алгоритмами.

Разбор существительного:

1) изменив слово по падежам, выделить окончание и основу;

2) подобрав однокоренные слова, выделить корень;

3) выделить приставку и суффикс. 

Разбор глагола:

1) определить форму глагола;

2) изменив глагол, найти формообразующие морфемы: окончание и суффикс; 

3) выделить основу (подсказка: в основу не входят все формообразующие морфемы);

4) подобрав однокоренные слова, выделить корень;

5) выделить приставку. 
Информация доступна здесь.

Подлодка — это сложносокращенное слово. При этом способе словообразования сокращение производящих основ происходит произвольно, без соотношения с морфемным составом слова. При словообразовательном анализе компонент под- в слове подлодка представляет собой сокращение производящей основы подводн-. В данном случае начальная часть сложносокращенного слова совпадает с приставкой производящего слова, однако в производном сложносокращенном слове компонент под- не является приставкой.

Определить собственно морфемный статус этого компонента затруднительно, корректно опираться на понятие «усеченная производящая основа».

Да, это однокоренные слова.

Цепочка, демонстрирующая этапы образования слова бессонница, выглядит следующим образом:

спать → сон (бессуфиксный способ; процесс словообразования сопровождается усечением производящей глагольной основы, чередованием согласных (п // н) и гласных («ноль звука» // о) → бессонный (приставочно-суффиксальный способ) → бессонница (приставочный способ; процесс словообразования сопровождается усечением производящей основы прилагательного).

Цепочка, демонстрирующая образование слова уснуть:

спать → уснуть (префиксально-суффиксальный способ; процесс словообразования сопровождается усечением гласной и согласной производящей глагольной основы).