Да, влияет. Слово следующие указывает на то, что далее последует список или перечень чего-либо, поэтому после этого слова ставится двоеточие, чтобы отделить его от последующего списка. При отсутствии слова следующие двоеточие не обязательно.

В русском языке значения глаголов умереть и погибнуть синонимичны, но не одинаковы. Основное значение слова погибнуть — 
"подвергнуться гибели, уничтожению (обычно при катастрофе, бедствии и т.п.); умереть (обычно насильственной смертью)". 

Представляется более корректным считать за грибами дополнением (пошли за чем?). Но не будет ошибкой и такой разбор этого предложения, при котором слова за грибами будут выделены как обстоятельство цели (пошли с какой целью?).

Если вы имеете в виду музей, то в сочетании со словом музей кавычки нужны: в музее «Экспериментаниум». При употреблении без родового слова кавычки допустимы, т. к. это слово можно отнести к непривычным, малоупотребительным.

Слово хаски может употребляться и в мужском, и в женском роде. Если говорится о породе собак (при этом не подчеркивается, что речь идет о самке), корректно употребление этого слова в форме мужского рода.  

Существительное наддув употребляется только как технический термин в значении 'усиление подачи горючей смеси в двигатель внутреннего сгорания за счёт повышения давления воздуха при впуске'. Существительное по значению глагола надуть – надув. Правильно: клапан надува.

Словарь И. Л. Городецкой, Е. А. Левашова «Русские названия жителей» (М., 2003) – наиболее полный справочник по названиям жителей – фиксирует оба слова (т. е. оба названия правильны), но при этом предпочтение отдает варианту байкальцы.

В МАСе зафиксированы оба сочетания (свертываемость крови – способность крови при истечении ее на поверхность превращаться в эластические сгустки; свертывание – действие по глаголу свернуться: превратиться в сгустки), однако среди медиков наиболее популярен первый вариант.

При соблюдении рекомендуемой последовательности постановки знаков никаких ограничений по их числу нет. Так, в принципе возможны и кавычки третьего уровня вложенности, хотя очевидно, что нагромождение знаков не вызовет положительных эмоций у читателей текста.

Возможно так: Каким движением является сгибание позвоночника? Как называют (называется) движение, необходимое для сгибания позвоночника (осуществляемое при сгибании позвоночника)?

Возможна постановка двух тире:  Наши преподаватели - учителя от Бога - рады помогать Вам.