Аббревиатуру можно использовать без расшифровки, если предполагается, что она понятна потенциальному читателю текста.

Форма людям в данном предложении не вызывает возражений.

Сочетание библиотека им. А. С. Пушкина – это описательный оборот, в первом слове которого прописная буква не нужна. Однако правила орфографии допускают функционирование усеченных названий, и эта тенденция становится все более и более заметной. На наш взгляд, использование описательного оборота в качестве усеченного названия, то есть написание его с прописной буквы, допустима в официальных документах. Такую замену можно предварить комментарием: Центральная городская публичная библиотека им. А. С. Пушкина (далее – Библиотека им. А. С. Пушкина).  

Правильно: аванс, не полученный в срок. Это причастие, верно раздельное написание. Критерий разграничения причастия и отглагольного прилагательного таков: слово в полной форме с суффиксом -н-(-нн-), -ен-(-енн)- является отглагольным прилагательным, если оно образовано от глагола несовершенного вида и не имеет зависимых слов, и является причастием, если образовано от глагола совершенного вида и/или имеет зависимые слова.

Не очень хорошо: выплачивается в зарплату, можно сказать: аванс, не выплаченный в срок, выдается вместе с зарплатой.

Правильно: семпл (это слово уже зафиксировано словарями русского языка). Написание Е вовсе не означает, что согласный С произносится мягко. Не в начале корня после букв, передающих твердый согласный, в словах иноязычного происхождения, как правило, пишется буква Е (ср.:  бизнес, бренд, коттедж, партер, стенд, инерция); буква Э пишется только в немногих нарицательных существительных, таких как мэр, мэтр, пленэр, пэр, рэкет, рэп, сэр и некоторых других словах (преимущественно узкоспециальных), их круг определяется орфографическим словарем.

Такая проверка неправильна по двум причинам. Написание букв на месте безударных гласных проверяется теми словами и формами, где в той же значимой части слова (в том же корне, приставке, суффиксе, окончании) проверяемый гласный находится под ударением. В слове чистить, во-первых, представлен совсем другой суффикс, во-вторых, он безударный. Чтобы правильно писать слова чистенький, старенький, слабенький и т. п., надо просто запомнить, что в современном литературном языке суффикса -иньк- нет, есть суффиксы -еньк- и -оньк-.

Так как слово кабинет уже фиксируется словарями в значении 'орган власти в государстве; то же, что правительство или его часть', 'состав министров, входящих в правительство' и при этом как усеченное официальное название пока не используется (ср. Дума наряду с Государственная дума), корректно написание со строчной буквы, если в тексте фраза воспринимается однозначно: В этом году будет сформирован кабинет. Если же возникает двусмысленность, то лучше использовать полное название Кабинет министров. 

Самотлорское месторождение — географическое название, написание которого подчиняется правилу, приведенному в параграфе 169 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина; название Самотлорское нефтяное месторождение включено в «Словарь собственных имен». Сочетание месторождение «Самотлор» представляет собой условное наименование (Самотлор — озеро, рядом с которым находится месторождение), наподобие сочетаний типа остановка «Улица Лесная» (которая, возможно, находится не на улице Лесной, а рядом); см. параграф 175 того же справочника.