Медиа может быть как первой частью сложных слов, так и самостоятельным словом (в значении 'СМИ').
Если между медиа и эксперт стоит дефис (как в приведенном Вами примере, здесь у Вас дефис, а не тире), то это одно слово, ошибочно написанное через дефис вместо слитного написания. Если слова соединены тире (медиа — эксперт), тогда это два слова, в данном случае о медиа сообщается, что оно (они) эксперт в чем-либо.
Подобные сращения (это не редупликации) одним словом признать, конечно, нельзя, потому что каждое из них (и банки, и склянки) имеет и собственное значение, и полную парадигму словоизменения и т. д. Но их можно признать одним членом предложения, если они записаны через дефис (не через тире!). В таком случае можно говорить о синтаксически цельном сочетании слов.
Придаточное здесь как раз и зависит от деепричастия и, соответственно, входит в состав деепричастного оборота. Хотя в школе на это обычно внимания не обращают, а напрасно.
В «Орфографическом словаре русского языка как государственного» тоже дано написание борсетка. Орфографическая норма: борсетка.
Если следовать "букве закона", то есть формальным правилам, то научился в Вашем предложении - часть составного глагольного сказуемого с модальным значением. Вот почему:
http://www.gramota.ru/book/litnevskaya.php?part5.htm#31202
Приинфинитивная часть составного глагольного сказуемого выражает грамматическое значение сказуемого, а также дополнительную характеристику действия — указание на его начало, середину или конец (фазисное значение) или возможность, желательность, степень обычности и другие характеристики, описывающие отношение субъекта действия к этому действию (модальное значение).
Фазисное значение выражается глаголами стать, начать (начинать), приняться (приниматься), продолжить (продолжать), перестать (переставать), прекратить (прекращать) и некоторыми другими (чаще всего это синонимы к приведенным словам, характерные для разговорного стиля речи):
Я начал / продолжил / закончил читать эту книгу.
Модальное значение может выражаться
1) глаголами уметь, мочь, хотеть, желать, стараться, намереваться, осмелиться, отказаться, думать, предпочитать, привыкнуть, любить, ненавидеть, остерегаться и Т. п.
2) глаголом-связкой быть (в наст. времени в нулевой форме) + краткими прилагательными рад, готов, обязан, должен, намерен, способен, а также наречиями и существительными с модальным значением:
Я был готов / не прочь / в состоянии подождать.
Не являются составными глагольными сказуемые, выраженные:
1) составной формой будущего времени глагола несовершенного вида в изъявительном наклонении: Я завтра буду работать;
2) сочетанием простого глагольного сказуемого с инфинитивом, занимающим в предложении позицию дополнения в случае разных субъектов действия у спрягаемой формы глагола и инфинитива: Все просили ее спеть (все просили, а спеть должна она);
3) сочетанием простого глагольного сказуемого с инфинитивом, который в предложении является обстоятельством цели: Он вышел на улицу погулять.
Нетрудно заметить, что во всех этих случаях спрягаемая форма глагола, стоящая перед инфинитивом, не имеет ни фазисного, ни модального значения.
Советско-Гаванский пишется через дефис.
В академической орфографической базе для слова кряшены (мн. ч.) фиксируется форма род. падежа мн. числа кряшен, а не кряшенов (вариант указанного Вами сайта). См. ресурс «Проверка слова» или «Академос».
«Древнее образование Ра» – не приставка и не корень, а плод фантазии людей, не имеющих никакого отношения к науке о языке и плохо знающих его историю. Подробнее см. здесь.
Слово лидировать существует, но в литературном языке этот глагол непереходный, то есть нельзя сказать лидировать что-то.
Это калька с английского, и она не вошла в языковую норму. Верно: руководить проектом, возглавлять проект.
Междометие, конечно, не склоняется, но в данном употреблении оно субстантивируется и выполняет функцию, присущую именно прямому дополнению. Не случайно и определения к нему имеют форму винительного падежа: этот факт указывает на то, что в дополнении подразумевается тот же падеж.
