Действительно, в данном случае возможны обе трактовки слов автора: 1) как отдельного предложения (и тогда верно их написание с прописной буквы), 2) как сочетания с глаголом, вводящим прямую речь (глагол грозить, обозначающий жест, вполне может использоваться как заменитель глагола речи). Согласимся, что первая трактовка уместна, если слова и жест не одновременны, а вторая — если одновременны. Заметим при этом, что во втором случае нужно изменить порядок слов, выдвинув глагол в начальную позицию:

— Следи-ка за братиком повнимательнее, он уж больно заинтересованно на утюг смотрит, — грозит пальцем мама Наташе.

См. ответ доктора филологических наук М. Я. Дымарского на вопрос № 321750. Добавим, что слово просьба — примета разговорной речи. Объявления с ним обычно понимаются однозначно, но иногда могут толковаться самым различным образом (увы, авторы даже не подозревают об этом). Например, объявление Просьба нашедшего вернуть за вознаграждение может быть понято совсем не так, как это задумано автором. Фраза в брачном объявлении просьба женатых не беспокоить толкуется двояко. Вывод: предложения, в которых употреблен не глагол просим (прошу), а существительное просьба, могут оказаться некорректными с точки зрения лексических и грамматических норм русского языка.

Слово ехtrasensus пришло из латыни: приставка еxtra ‘вне, за пределами’, корень sensus ‘чувство, смысл, ощущение’. Поэтому этимологически это слово из двух морфем. Слово сенс латинского происхождения с тем же значением было заимствовано через польский язык во времена Петра I, однако достаточно быстро вышло из употребления.

В современном русском языке сравнительно недавно появилось слово сенс в качестве стилистически окрашенного синонима для экстрасенс (см., например, «Русский орфографический словарь» под ред. В. В. Лопатина и О. Е. Ивановой), поэтому выделение приставки экстра и корня сенс в этом слове вполне оправданно.

Это сравнительные обороты, они выделяются запятыми. Обратите внимание, что слово чирлидинг пишется через и.

Вы правы, запятая не нужна, т. к. оборот несмотря на трудности тесно связан по смыслу со словом смеяться (смысл не в том, что его научили смеяться, а в том, что его научили смеяться несмотря на трудности, вопреки трудностям). Если поставить запятую, смысл изменится: Родители научили его смеяться, несмотря на трудности (испытываемые родителями).

Корректно написание без кавычек: ясиновцы.

Правильны оба варианта – с предлогом и без предлога. В «Толковом словаре русского языка» С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой это выражение фиксируется следующим образом: (в) последнее время. Предлог в заключен в скобки, что указывает на его факультативность (необязательность) в этом сочетании. Так что Вас напрасно обвинили в безграмотности.

Мы бы назвали все это представительской продукцией (так как флажки не документация). Здесь следует использовать слово представительский, так как эти вещи используют представители (люди, представляющие компанию). Значения слова представительный Вы можете узнать в разделе "Проверка слова".

На наш взгляд, лучше отредактировать предложение: Наша компания (ИМЯ) занимается изготовлением электронных табло с 2000 года и успела заработать хорошую репутацию, доказательство тому - растущее количество постоянных заказчиков.

Можно поставить и тире, и двоеточие.