Первоначальная форма существительного лестница –  лезтва. Оно действительно образовано от глагола лезть с помощью суффикса -тв- (так же, как, например, слово бритва образовано от глагола брить), т. е. буквально это слово означает «то, с помощью чего лезут».

Но еще в праславянском языке, задолго до того, как стать лестницей, лезтва стала лествой: перед глухим согласным з превратилось в с. Впоследствии лества уступило место лествице. И только потом,  под влиянием многочисленных слов, оканчивающихся на -ниц-а (звонница, кузница и др.), лествица стала лестницей.

Таким образом, ввести написание через з  означало бы искусственно вернуть это слово к той форме, от которой оно естественным образом ушло много веков назад. Вряд ли в этом есть смысл.

Запятую ставить не нужно, так как деепричастный оборот имеет тесную смысловую связь со сказуемым, он образует смысловой центр высказывания.  

Правильно: как ни вертись.

Правильно: Приемная комиссия ... государственного университета и в выходные дни трудилась не покладая рук.

Правильно: как бы томительно ни взнывало...

Падеж словоформы врача в этом контексте установить невозможно: вопрос кого? не различает винительный и родительный падежи. Глагол бояться действительно может присоединять в качестве зависимого слова одушевленное существительное в винительном падеже (боюсь маму). Правда, следует заметить, что, согласно справочнику Д. Э. Розенталя «Управление в русском языке», такой вариант (бояться кого) имеет разговорную окраску. Нейтральная форма зависимого существительного при глаголе бояться — форма родительного падежа (боюсь мамы). 

Да, Вы поняли верно. Определенных правил об отбивке косой черты от слов не указано, но обычно (в том числе и в новом полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации») пробелы до косой черты и после нее не ставятся.

Запятая не нужна. Вводные слова и сочетания слов, стоящие на границе однородных членов или частей сложного предложения и относящиеся к следующему за ними слову или предложению, не отделяются от него запятой (вторая запятая опускается с целью указания на отнесенность вводного слова к последующей части предложения).

Конструкция не соответствует грамматическим нормам русского языка. Можем предположить либо опечатку (нужно сверить с печатными источниками), либо "языковые игры" Андрея Белого.