Вы совершенно правы, вводное слово образует с обособленным оборотом единое целое и не отделяется от него знаком препинания (см. параграф 93 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина).

Сочинительное сочетание четверг или пятницу содержит два поясняющих приложения к существительному день, отделенных от него тире. Поскольку это существительное стоит в винительном падеже (берем (что?) день), то и поясняющие приложения должны стоять в той же форме.

Правильно: выстелем. Глагол стелить и образованные от него приставочные глаголы относятся к I спряжению. Убедиться в этом можно, обратившись к орфографическому словарю, в котором приводятся контрольные формы (или их финали). По контрольным формам можно узнать спряжение глагола.

Глагол вырезывать устаревает, выходит из употребления. В современном русском языке вместо него употребляется глагол несовершенного вида вырезать. Давайте вырезывать круг – не ошибка, но в современном языке (особенно в живой речи) такое употребление уже выглядит не вполне уместным.

Да, эти слова являются однокоренными. Словообразовательная цепочка, демонстрирующая связь между ними, выглядит следующим образом: 

мысль → мыслить → смыслить → смысл.

Приставка с- выделяется как в производном глаголе смыслить, так и в образованном от него существительном смысл.

Да, в этом предложении причастный оборот отдавшие часть своей жизни школе обособляется с обеих сторон. Существительное люди, следующее после тире, вместе с зависимым от него придаточным образует уточняющий оборот к существительному преподаватели, который, собственно, и отделяется тире.

Что Вы понимаете под правильностью? Что именно Вас смущает в этом сочетании? Ведь в данной конструкции речь идет об определенном бюрократическом термине, вряд ли получится заменить этот термин адекватным синонимом. (Стилистические придирки оставим в стороне.)

К сожалению, не можем Вам помочь.