В русском языке у ряда предлогов действительно существуют варианты с конечным гласным о: без и безо, в и во, к и ко, с и со и т. д. Добавление гласного о нередко наблюдается в тех случаях, когда последующее слово начинается с той же согласной, которой оканчивается предлог без о: в + власть = во власти; с + слезы = со слезами. Но так происходит не всегда. Правильно: к книге. Подробные правила см. в «Письмовнике».

Для обособления обстоятельственного оборота с предложным сочетанием в рамках нет оснований. Заметим, что само это сочетание в приведенном предложении употреблено неуместно, так как обозначает «ограничиваясь (только этим), охватывая (только это)» и сочетается с отвлечёнными существительными, например: Действовать в рамках закона; Рассуждать в рамках сегодняшних представлений. С названием страны нужно использовать предлог в: в современной России. Кроме того, при редактировании предложения желательно устранить нанизывание трех подряд конструкций с предлогом в.

Правильно: пользуешься им, говоришь ей. Формы косвенных падежных форм местоимений он, она, оно, они с начальным Н употребляются после форм сравнительной степени прилагательных и наречий (факультативно), напр.: лучше него и лучше его, а также после предлогов (после некоторых предлогов начальный Н обязателен, после некоторых факультативен). См. подробнее в «Письмовнике».

Если речь о паркинге как строении, инженерном сооружении, то корректно: в подземном паркинге, из подземного паркинга.

Повторение предлога в этом предложении факультативно.

Вариант изо льва соответствует правилам, но встречается редко, ср.: ...а человечье торчит изо льва, во все стороны мельницей ходит (А. М. Ремизов, 1952). Десять русских предлогов имеют варианты с о (т. н. вокализованные) — без, в, из, к, над, об, от, под, перед, с. Употребление вокализованных вариантов описывается длинным набором условий, но лишь в немногих случаях оно является строго обязательным (как, например, в сочетаниях с падежными формами местоимения я, начинающимися с двух согласных, — ко мне, со мной, надо мной, обо мне и др.). Употребление вокализованных вариантов в русском языке сокращается, при этом их появление более вероятно в высокочастотных сочетаниях и менее вероятно — в низкочастотных. Поэтому в речи более вероятны сочетания со львом, ко льву (как относительно распространенные) и гораздо менее вероятно сочетание изо льва (как редкое). Об употреблении предлогов типа ко, со см. также в «Письмовнике».

Все правильно, ошибки нет.

Нет, неверно. В интересующей Вас конструкции существительное заезд может употребляться в значении "приезд в санаторий, в дом отдыха и т. п. новой группы отдыхающих". Корректно, например, так: Группу, заезжающую 21 июля, сопровождает морской биолог.