Верно: бейджей и беджей (как картриджей, коттеджей).
Правильно: хаммам (баня). См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. М., 2012.
Правильно: ушел на фронт или ушел на войну. Ушел на фронт войны – неправильно.
Слова на самом деле могут обособляться как вводные в знач. «собственно говоря, в самом деле», но чаще употребляются в знач. «в действительности, фактически» и не требуют постановки знаков препинания. См. подробнее в «Справочнике по пунктуации».
Запятая не нужна.
Верен только один вариант: энтропИя.
Верно, но по такой вывеске непонятно, что за услуги.
Да, эта фамилия склоняется (и мужская, и женская): Логойды, Логойде и т. д.
Единственно возможного варианта нет. В разных названиях сражений употребляются разные предлоги, ср.: битва при Ватерлоо, битва под Москвой, битва на Калке.
Нужна точка в конце предложения.
