Правильно: заведующий (заведующая) дневным отделением. Такие слова, как заведующий, управляющий, командующий (т. е. существительные, произошедшие из причастий), управляют творительным падежом.

Разница прежде всего в том, что ПТУ – буквенная аббревиатура (т. е. читается по названиям букв: [пэтэу]), а вуз – звуковая (т. е. читается не по названиям букв – [вэузэ] – а как обычное слово). Впрочем, подавляющее большинство аббревиатур – и буквенных, и звуковых – пишутся прописными буквами. Строчными буквами пишутся только некоторые (немногие) звуковые аббревиатуры, давно существующие в языке и воспринимаемые уже не как аббревиатуры, а как обычные слова: вуз, втуз, дот (от долговременная огневая точка), дзот. Отдельные звуковые аббревиатуры могут писаться и прописными, и строчными буквами: ЗАГС и загс. Отдельные буквенные аббревиатуры могут писаться двояко – по буквам и по их названиям: БТР и бэтээр. В случае возникновения сомнений следует обращаться к орфографическому словарю.

Из истории: традиции написания аббревиатуры вуз строчными буквами – уже более полувека. В «Справочнике по орфографии и пунктуации для работников печати» К. И. Былинского и Н. Н. Никольского (М., 1952) читаем: «...Сложные сокращенные слова, обозначающие нарицательное имя и читаемые не по названиям букв, а как обычные слова, пишутся строчными буквами: вуз, вузы, нэп, при нэпе и др.». 

Правильно: казашка.

Орфографический словарь

Глагола повешать нет в русском литературном языке. Правильно: повесить, повесили.

Написание буквы Ё регулируется правилами русского правописания. В соответствии с ними буква Ё ишется в 3 случаях: 1) когда необходимо предупредить неверное чтение и понимание слова, например: узнаём в отличие от узнаем; всё в отличие от все; совершённый (причастие) в отличие от совершенный (прилагательное), сюда же относится Ё в именах, отчествах, фамилиях людей: Чернышёв – Чернышев; 2) когда надо указать произношение малоизвестного слова, например: река Олёкма; 3) в cпециальных текстах: букварях, школьных учебниках русского языкa, учебниках орфоэпии и т. п., а также в словарях для указания места ударения и правильного произношения. В остальных случаях написание Ё факультативно (необязательно).

Правильно: среднее специальное.

Правильно: горе-туристы.

Орфографический словарь

В словарях русского языка зафиксирован только вариант суставной.

Орфографический словарь

Русское словесное ударение

Запятая не нужна.