Корректно: «Надо за пять — добежим за пять» — читалось на разгорячённых от недавнего бега и мороза лицах; Через полчаса мы побежим штурмовать условно вражеский берег.

Пожалуйста, назовите Ваш источник.

1. «Правила русской орфографии и пунктуации» 1956 года – это официально действующие в настоящее время правила русского правописания. Официально действующие – но в ряде случаев значительно отстающие от современной практики письма, противоречащие ей, – такой вот парадокс. Написание с прописной буквы слова Бог не соответствует этим правилам, но в той же степени не соответствует им, например, написание с прописной слова Республика в сочетании Французская Республика, ибо согласно правилам 1956 г. слово республика пишется с прописной только «в официальных названиях советских республик и стран народной демократии». Раздел «Прописные буквы» в этом своде правил – пожалуй, наиболее устаревшая часть. В современных словарях и справочниках (некоторые из них приведены в пункте 2) рекомендации свода 1956 года пересмотрены, правила употребления прописных букв сформулированы заново, сейчас следует руководствоваться именно этими правилами.

2. См.: Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2007; В. В. Лопатин, И. В. Нечаева, Л. К. Чельцова. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2007;  Мильчин А. Э., Чельцова Л. К. Справочник издателя и автора. М., 2003.

3. В политеистических религиях, действительно, существуют тысячи богов, поэтому, если речь идет об одном из верховных существ в политеистических религиях,  бог – нарицательное существительное (и пишется со строчной). Однако монотеистические религии основаны как раз на том принципе, что существует только один бог, поэтому в значении 'единое верховное существо в монотеистических религиях' слово Бог сближается с именем собственным, на этом и основана рекомендация писать это слово с прописной.

4. См. пункт 2. В этих изданиях употребляется именно слово «рекомендуется» (поэтому и мы так пишем). По поводу того, как оценивается написание бог / Бог в школьных сочинениях и диктантах, ничего не можем сказать (не знаем); вероятно, правильнее всего было бы не считать ошибкой ни то, ни другое написание, но рассказать ученикам о данной орфографической проблеме, о том, как она решается сейчас, какие рекомендации приведены в современных справочниках по правописанию.

В этом предложении следует использовать оборот не представляется возможным. Выбор глагола представляться обусловлен смыслом предложения: как представляют себе ситуацию авторы текста, возможность выполнить обсуждаемое действие отсутствует. Выражения предоставлять возможность, не предоставляется возможности синонимичны оборотам дать возможность, не дается возможности, а следовательно, подразумевается совершенно иная по своей сути ситуация (вполне вероятно, такая, когда кто-то в состоянии содействовать организации нужной работы).

Если слово год или название месяца опущено или поставлено перед числом, падежное окончание рекомендуется наращивать. Например: в мае, числа 20-го; год 1920-й; Грянул 1917-й; Концерт перенесли с 15 мая на 22-е; 20-го же апреля.

Можно предположить, что в описываемых Вами случаях речь идет о произношении суффикса -л- на конце глагольных форм прошедшего времени мужского рода как губно-губного сонанта [w] или так называемого неслогового [ў]. Из близкородственных русскому языков такой звук есть в украинском и белорусском, причем в белорусском алфавите для него есть особая буква ў, а в украинском он обозначается буквой в: ср. бел. Ты добра паспаў? ‘та хорошо поспал?’, но Ты добра паспала?; укр. Ти добре поспав?, но Ти добре поспала?). В русском языке буква в на конце слова должна читаться как глухой звук [f]. Из Вашего описания не вполне ясно точное произношение суффикса -л- в приводимых вами примерах. Если произносится действительно нечто вроде [ў/w], не исключено, что это действительно какая-то разновидность манерного, сюсюкающего произношения, свойственного некоторым склонным к «мимимишности» носителям языка в разговорах с детьми или домашними животными. И тогда это мало отличается от приводимого Вами сделяль. Но такой интерпретации в некоторой степени противоречит то, что «сюсюкающее» [w] на месте л скорее всего не ограничилось бы только мужским родом и конечной позицией в слове, а проникло бы и в позицию перед гласным (Ты хорошо поспа[ў/w]? и Ты хорошо поспа[ў/w]а?), в отличие, кстати, от белорусского и украинского, где чередование [л]:[ў/w] – это результат закономерного фонетически обусловленного изменения [л] > [ў/w] на конце слова. Таким образом, в условиях недостаточной изученности данного явления и даже отсутствия полной уверенности в существовании такого явления объяснить его пока не представляется возможным.

Какое слово нужно пояснить? Каков контекст?

Ваши замечания справедливы. Спасибо!

Запятая перед что и в этих примерах необходима. Она ставится между главным и придаточным предложением в составе сложноподчиненного.