Кавычки не требуются.
Правильно: у Даши день рождения.
Да, запятую необходимо поставить.
Определения, выраженные прилагательными с зависимыми словами и стоящие после определяемых слов, обособляются.
Это неоднородные приложения, поэтому запятая не требуется.
Корректно: неиспользованный отпуск в количестве 1 календарного дня.
Грубой ошибки в этом предложении нет (в этих случаях учителя выносят на поля букву Р. для лексических ошибок и Гр. для грамматических). Кажется не очень удачным сочетание отличной матерью (особенно в паре с хорошим врачом), также хочется облегчить предложение, отказавшись от одного из двух составных именных сказуемых. Например, так: Когда я повзрослею, то стану…
Склоняются все компоненты этого имени: Мартина Лютера Кинга.
Название памятного дня в православии - Родительская суббота. В остальных случаях коректно написание строчными.
