Корень стекл-. Интересно, какие «новые правила» имел в виду учитель?
Корректно написание со строчной (маленькой) буквы: с новым учебным годом.
Коммуникабельный = способный к общению (человек). Коммуникативный = связанный с общением, относящийся к общению (навык).
Лучше писать без тире.
Эта конструкция воспринимается скорее как простое предложение с подлежащим мы и однородными сказуемыми печем и пробуем. Соответственно, основной вариант расстановки знаков препинания в ней таков: Мы всегда печем имбирное печенье, (при этом) пробуем новые рецепты, новые формочки. Вместе с тем конструкцию можно воспринимать как бессоюзное сложное предложение с неполной второй частью (пропущено подлежащее мы), конкретизирующей то, что сказано в первой, а значит, двоеточие возможно.
Да кавычки нужны, при этом предпочтительно использовать кавычки разного рисунка: ООО «Риелторское агентство "Новый квартал"».
Корректно: скоро открытие новых магазинов.
