Действительно, сочетание в День России является пояснением по отношению к сочетанию 12 июня. Именно поэтому его нужно выделить запятыми, как указано в справочниках, например в полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

Согласно § 183 «Правил русской орфографии и пунктуации» с прописной буквы пишется первое слово и собственные имена в названиях религиозных праздников. Если речь идет о поздравлении, значит, Воскресный день воспринимается как праздник, в этом случае уместно использование прописной буквы.

Запятая нужна, так как это сложноподчиненное предложение. Придаточное со сравнительным значением — двусоставное неполное. 

Запятая не нужна. Ни тот ни другой – устойчивый оборот с повторяющимся союзом, внутри таких конструкций запятая не ставится. Ср.: и день и ночь; и смех и горе; и стар и млад; и так и этак; и там и сям; и туда и сюда.

Знаки препинания расставлены верно.

Обратите внимание, что верно: Оплату оказанных услуг гарантируем (без предлога за). Также, если 14 мая — это дата, когда выпал град (а не день, которым должна быть датирована справка), верно: ...о выпадении града 14.05.2016 г. (без предлога за).

Выражение доброго времени суток иногда встречается в электронной переписке, когда пишущему неизвестно точное время получения сообщения адресатом. Однако эта фраза не относится к принятым формам речевого этикета и не соответствует этикетным нормам приветствия в русском языке. Лучше использовать универсальное приветствие добрый день.

Поскольку супер является приставкой, она пишется, как правило, слитно, кроме случаев, когда она присоединяется к дефисным конструкциям или к собственным именам. Случаи присоединения в кириллическом написании к латинице не регламентированы на сегодняшний день. Поэтому не будет ошибкой ни одно из предложенных Вами написаний.

Что именно требует пояснения? Перед нами сочетание определяемого слова и приложения, вступающих в гипо-гиперонимические отношения (ср.: дерево береза, кофе эспрессо, день недели понедельник и т.д.). Оснований для использования прописной буквы нет. Основания для постановки кавычек - шаткие (кроме как традицией больше нечем объяснить).