Нет, здесь нет тавтологии.
В слове постоянный корень -сто- (см. «Словарь морфем русского языка» А. И. Кузнецовой и Т. Е. Ефремовой). Проверочные слова есть: например, стой.
Проверочное слово для глагола существует — суще́ственный.
Полагаем, можно распространить это правило на фразу У него появится чем заняться. Глагол появиться здесь имеет значение 'начать существовать', то есть может быть отнесен к глаголам существования — к той же группе, что и глагол быть.
Так исторически сложилось.
Следует писать слитно, верен первый вариант.
Такое слово существует.
Да, фамилия Головня склоняется (и мужская, и женская): в честь Екатерины Головни.
Да, по всей видимости, так оно и есть. Судя по контекстам, в которых употребляется это слово, оно образовано от фамилии Кашпировский и используется в значениях 'загипнотизировать, зомбировать; оболванить, одурачить'.
В этом случае запятая также не нужна, так как модель предложения та же самая, только позиция инфинитива в ней заполнена двумя глагольными формами.
Можно сказать: комментарии к документации.
