Наименование «Госключ» корректно писать в кавычках. О написании наименования 1С см. в ответе на вопрос № 293757.

Правильно: Директор компании «Ромашка» интегрировал систему с «Госключом». Если компания свое наименование пишет без кавычек, то в кавычках останется только название «Госключ».

Обе трактовки корректны. 

Слово кстати в этом предложении действительно является наречием. Сочетание кстати и некстати входит в ряд обстоятельств, зависящих от сказуемого втискивали. Эти обстоятельства представлены как дополнительная информация, добавочные сведения (= «всюду втискивали науку, причем кстати и некстати...»), то есть представляет собой присоединительную конструкцию. Добавим, что, поскольку эта конструкция включена в предложение без союзов, предпочтительно было бы поставить тире: ...мы всюду втискивали науку — кстати и некстати, с умыслом и без умысла, искусно и неискусно. Впрочем, запятая в этих случаях также используется, и она не ошибочна.

Написание сокращений мин. и ч. с точками зафиксировано в «Русском орфографическом словаре» РАН, хотя согласно ГОСТу эти сокращения должны быть написаны без точек. Видимо, можно дать такую рекомендацию: при составлении документов, технических текстов следовать ГОСТу, а в обычной письменной речи оформлять эти сокращения так, как рекомендовано орфографическим словарем (ведь общим правилам написания сокращений соответствует написание с точкой: мин., ч.).

Здесь союзное слово кто действительно присоединяет придаточную часть, вот только заканчивается эта придаточная часть перед точкой, сказуемые участвовал и сбежал однородны, относятся к подлежащему кто. Необходимо выделить парными знаками приложение дворцовый переворот (с зависимыми словами), которое поясняет существительное заговор: Серж был банкиром, коллекционером картин и праправнуком генерала Л. Л. Беннигсена, того самого, кто участвовал в заговоре — дворцовом перевороте 1801 года против императора Павла I — и потом сбежал из России.

Части предложения могут быть связаны союзами, выражающими контраст или противоположность между явлениями, действиями, признаками и т. п. Мы употребляем противительные союзы, когда есть необходимость обозначить различия, противопоставления или несоответствия между соединяемыми элементами. Правила постановки знаков препинания, в том числе перед противительными союзами, можно посмотреть в разделе «Пунктуация» справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под редакцией В. В. Лопатина.

Поскольку год с определенным порядковым номером может быть только один, верно: В тысяча девятьсот шестьдесят шестом и тысяча девятьсот шестьдесят восьмом годах... Если определения выражены порядковыми числительными, ситуация, когда определяемое слово стоит во множественном числе, а однородные определения к нему — в единственном, обычна. Сравним примеры из «Справочника по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой: первая и вторая редакции романа; вторая и третья группы выпускного курса; третье, четвертое и пятое места поделили...

Для обозначенных Вами задач лучше использовать вариант: ...и стала клушей совсем: перестала интересоваться чем угодно, кроме дома и ребенка. Он наиболее точно передает значение "клуша — это женщина, которая перестала интересоваться чем угодно, кроме дома и ребенка".