Это новое слово, и поэтому в академическом орфографическом словаре оно пока не зафиксировано. Существительные, состоящие из двух частей, первая из которых заканчивается на согласный и самостоятельно не употребляется (часть дог здесь имеет несвойственное ей в русском языке значение 'собака вообще', а не 'собака определенной породы'), пишутся по-разному – и слитно, и через дефис. Сейчас, судя по данным интернета, преобладает написание дог-бокс, что вполне естественно: новые составные существительные на первом этапе освоения русским языком чаще пишут через дефис. Со временем, если слово приживется, будет освоено, возможно изменение написания на слитное. Очень надеемся, что предмет, названный этим словом, войдет в наш обиход :)

Спасибо за новое слово! Мы передадим его орфографистам в Институт русского языка им. В. В. Виноградова РАН.

К авторитетным словарям современного русского языка можно отнести книги, выпускаемые издательством «АСТ-ПРЕСС» в рамках культурно-просветительской программы «Словари XXI века», издательством «Эксмо» в серии «Библиотека словарей», а также издания, выпускаемые под  грифом учреждений РАН: Института русского языка им. В. В. Виноградова (например, «Русский орфографический словарь» под ред. В. В. Лопатина, «Толковый словарь русского языка» С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой), Института лингвистических исследований (например, «Большой толковый словарь русского языка» под ред. С. А. Кузнецова).

На наш взгляд, стоит также объяснить студентам, что к новостям (особенно из телевизора и Интернета) о введении новых языковых норм следует относиться критически: зачастую лингвистическая информация некорректно интерпретируется сотрудниками СМИ (достаточно вспомнить прошлогоднюю шумиху в СМИ о «новых нормах языка», см.: А был ли йогурт?).

Вот текст стихотворения по книге «Прямая речь. Мысли великих о русском языке» (М., 2007):

Я люблю свой родной язык!
Он понятен для всех,
Он певуч,
Он, как русский народ, многолик,
Как держава наша, могуч.
Хочешь — песни, гимны пиши,
Хочешь — выскажи боль души.
Будто хлеб ржаной, он пахуч,
Будто плоть земная — живуч.
Для больших и для малых стран
Он на дружбу,
На братство дан.
Он — язык луны и планет,
Наших спутников и ракет.
На совете
За круглым столом
Разговаривайте на нем:
Недвусмысленный и прямой,
Он подобен правде самой.

В публикациях в интернете, в том числе в книгах, по которым ведется поиск в Гугл-книгах, тот же текст содержит еще две строки:

Он, как наши мечты, велик,
Животворный русский язык!

К сожалению, Вы ошибаетесь. Сочетания родовых и видовых наименований в русском языке очень частотны: город Москва, месяц июнь, сеть Интернет, животное корова и т. д. Выражение июнь месяц неграмотным не является. Более того, это и подобные выражения получают фиксацию в словарях русского языка: http://gramota.ru/slovari/dic/?word=*%EC%E5%F1%FF%F6&all=x

Также должны заметить, что Песнь царя Соломона принято именовать именно так: Песнь песней.

Орфографически верно: конвертер (во всех значениях).

1. Можно писать Веб как отдельное слово, существительное: в Вебе, из Веба.

2. Это так. Но словарные рекомендации пока что не менялись. Нужно писать с большой буквы.

К сожалению, нам не удалось обнаружить в словарях и других заслуживающих доверия лингвистических источниках историю этого выражения. Тем не менее в Интернете публикуются версии его происхождения, приведем наиболее распространенную.

В Одессе почти сто лет со дня основания (1792) не было водопровода. Воду возили водовозы, причем издалека, так как в приморской зоне колодцы дают воду солоноватую, пригодную только для технических целей. Артезианские скважины называли фонтанами.

Скважины с лучшей питьевой водой нашлись в ~10 км от центра города. Туда построили дорогу, и стали называть Фонтанской дорогой. Она и теперь так называется. В старой песне «Фонтан черемухой покрылся» — это на улице, вдоль дороги росла черемуха. Лучшая вода оттуда стоила дороже, но водовозы норовили привезти воду из колодцев поближе и продать по цене фонтанской. Знатоки, хозяйки пробовали и говорили: «Нет! Это не фонтан!».

Начнем со второго вопроса. Мы не избираем вопросы, "достойные" ответа. Мы не выполняем домашние задания учеников и студентов, также мы не отвечаем на вопросы, не относящиеся к нашей компетенции.

И ответ на первый вопрос. Написание Э или Е в личных именах и фамилиях не регламентируется правилами правописания. Если имя фиксируется в энциклопедических или иных заслуживающих доверия источниках, то на такую фиксацию и нужно опираться при написании. Кроме этого, есть общие рекомендации по транслитерации иностранных имен и фамилий, не только английских, но эти рекомендации могут не соблюдаться, если в практике письма укоренилось альтернативное написание. Достаточно подробное, но, к сожалению, уже ставшее букинистической редкостью издание - книга  Р. С. Гиляревского и Б. А. Старостина "Иностранные имена и названия в русском тексте" (М., 1985) - в Интернете есть лишь пиратские копии этой книги. Также см.: Р. А. Лидин. Иностранные фамилии и личные имена. Практика транскрипции на русский язык. Справочник. (2006).

Неологизмы сторис и шортс употребляются как неизменяемые имена существительные. Такой вывод можно сделать, если принять во внимание речевую практику, отраженную в научных публикациях и в СМИ. Согласуемые прилагательные и местоимения указывают на то, что авторам слово сторис, так же как и слово история, представляется существительным женского рода: первая / интересная / эта / своя сторис. В то же время на просторах интернета мелькают рекомендации смело создавайте сторисы и шортсы, публикуйте ежедневные посты и сторисы, снимайте побольше сторисов и постов. Фразы иллюстрируют несомненную возможность употребления обсуждаемых слов как изменяемых. Выражения просматривать сторис и просматривать сторисы оказываются тождественными по смыслу. Сочетания четыре сторис и четыре сториса соседствуют в одном тексте. Блогер сетует: звонки мешают сторисам. Формы сторисы, сторисов, сторисам, сториса, шортсы свидетельствуют о том, что неологизмы создают, условно говоря, свою живую «сторис», а если пользоваться лингвистической терминологией, то, вероятно, как и другие заимствованные слова, проходят этапы грамматической адаптации в русском языке.

Есть словарная фиксация в последнем издании «Русского орфографического словаря»:

фейр-плей, нескл., ж. (спорт.)

Это сочетание употребляется не только в буквальном смысле «честная игра», но и в более широком значении, которое можно передать приблизительно так: соблюдение спортивных принципов; поведение, основанное на честности и открытости.